基本概念
设A为n阶矩阵，λ是一个数，若存在一个n维的非零列向量α使得关系式Aα=λα成立，则称λ是矩阵A的特征值，α是属于特征值λ的特征向量.设E为n阶单位矩阵，则行列式∣λE−A∣称为矩阵A的特征多项式.【注】（1）要注意：特征向量必须是非零向量；（2）等式Aα=λα也可以写成(A−λE)α=0，因此α是齐次线性方程组(A−λE)x=0的解，由于α≠0，可知(A−λE)x=0是有非零解的，故∣A−λE∣=0；反之，若∣A−λE∣=0，那么齐次线性方程组(A−λE)x=0有非零解，可知存在α≠0使得(A−λE)α=0，也即Aα=λα.由上述讨论过程可知：λ是矩阵A的特征值的充要条件是∣A−λE∣=0（或∣λE−A∣=0），而特征值λ的特征向量都是齐次线性方程组(A−λE)x=0的非零解.（3）由于∣λE−A∣是n次多项式，可知∣λE−A∣=0有n个根（包括虚根），也即n阶矩阵有n个特征值；任一特征值都有无穷多特征向量.\begin{aligned} &\text{设}A\text{为}n\text{阶矩阵，}\lambda\text{是一个数，若存在一个}n\text{维的非零列向量}\alpha\text{使得关系式} \\ &A\alpha = \lambda\alpha\text{成立，则称}\lambda\text{是矩阵}A\text{的特征值，}\alpha\text{是属于特征值}\lambda\text{的特征向量.设}E\text{为}n \\ &\text{阶单位矩阵，则行列式}|\lambda E - A|\text{称为矩阵}A\text{的特征多项式.} \\ & \\ &\text{【注】（1）要注意：特征向量必须是非零向量；} \\ & \\ &\text{（2）等式}A\alpha = \lambda\alpha\text{也可以写成}(A - \lambda E)\alpha = 0\text{，因此}\alpha\text{是齐次线性方程组} \\ &(A - \lambda E)\boldsymbol{x} = 0\text{的解，由于}\alpha \neq 0\text{，可知}(A - \lambda E)\boldsymbol{x} = 0\text{是有非零解的，故} \\ &|A - \lambda E| = 0\text{；反之，若}|A - \lambda E| = 0\text{，那么齐次线性方程组}(A - \lambda E)\boldsymbol{x} = 0\text{有非零解，} \\ &\text{可知存在}\alpha \neq 0\text{使得}(A - \lambda E)\alpha = 0\text{，也即}A\alpha = \lambda\alpha. \\ & \\ &\text{由上述讨论过程可知：}\lambda\text{是矩阵}A\text{的特征值的充要条件是}|A - \lambda E| = 0\text{（或} \\ &|\lambda E - A| = 0\text{），而特征值}\lambda\text{的特征向量都是齐次线性方程组}(A - \lambda E)\boldsymbol{x} = 0\text{的非零解.} \\ & \\ &\text{（3）由于}|\lambda E - A|\text{是}n\text{次多项式，可知}|\lambda E - A| = 0\text{有}n\text{个根（包括虚根），也即} \\ &n\text{阶矩阵有}n\text{个特征值；任一特征值都有无穷多特征向量.} \end{aligned}设A为n阶矩阵，λ是一个数，若存在一个n维的非零列向量α使得关系式Aα=λα成立，则称λ是矩阵A的特征值，α是属于特征值λ的特征向量.设E为n阶单位矩阵，则行列式∣λE−A∣称为矩阵A的特征多项式.【注】（1）要注意：特征向量必须是非零向量；（2）等式Aα=λα也可以写成(A−λE)α=0，因此α是齐次线性方程组(A−λE)x=0的解，由于α=0，可知(A−λE)x=0是有非零解的，故∣A−λE∣=0；反之，若∣A−λE∣=0，那么齐次线性方程组(A−λE)x=0有非零解，可知存在α=0使得(A−λE)α=0，也即Aα=λα.由上述讨论过程可知：λ是矩阵A的特征值的充要条件是∣A−λE∣=0（或∣λE−A∣=0），而特征值λ的特征向量都是齐次线性方程组(A−λE)x=0的非零解.（3）由于∣λE−A∣是n次多项式，可知∣λE−A∣=0有n个根（包括虚根），也即n阶矩阵有n个特征值；任一特征值都有无穷多特征向量.
常用性质
特征向量的性质
定理1：α1,α2,⋯ ,αs都是矩阵A属于特征值λ的特征向量，则对任意常数k1,k2,⋯ ,ks，当k1α1+k2α2+⋯+ksαs≠0时，k1α1+k2α2+⋯+ksαs也是矩阵A属于特征值λ的特征向量.定理2：矩阵不同特征值的特征向量线性无关.\begin{aligned} &\text{定理1：}\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\text{都是矩阵}A\text{属于特征值}\lambda\text{的特征向量，则对任意常数} \\ &k_1,k_2,\cdots,k_s\text{，当}k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + \cdots + k_s\alpha_s \neq \boldsymbol{0}\text{时，}k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + \cdots + k_s\alpha_s\text{也是矩阵}A \\ &\text{属于特征值}\lambda\text{的特征向量.} \\ & \\ &\text{定理2：矩阵不同特征值的特征向量线性无关.} \end{aligned}定理1：α1,α2,⋯,αs都是矩阵A属于特征值λ的特征向量，则对任意常数k1,k2,⋯,ks，当k1α1+k2α2+⋯+ksαs=0时，k1α1+k2α2+⋯+ksαs也是矩阵A属于特征值λ的特征向量.定理2：矩阵不同特征值的特征向量线性无关.
特征值的性质
定理1：设Aα=λα, α≠0, 则对任意的多项式f(x), f(A)α=f(λ)α, 当矩阵A可逆时，还有f(A−1)α=f(λ−1)α.【注】该定理在考试中有很重要的应用，不但要记住其结论而且要掌握其推理过程.应用举例：设Aα=2α, α≠0, 则(A2+3A+E)α=A2α+3Aα+Eα=A(2α)+3×2α+α=22α+3×2α+α=11α.定理2：设f(x)为任意多项式，如果矩阵A满足f(A)=0, 则A的任一特征值λ满足f(λ)=0.定理3：设矩阵A所有的特征值为λ1,λ2,⋯ ,λn（其中可以有一样的，也可以有虚数），则有λ1+λ2+⋯+λn=∑i=1naii, ∏i=1nλi=∣A∣.\begin{aligned} &\text{定理1：设}A\alpha = \lambda\alpha,\ \alpha \neq \boldsymbol{0},\ \text{则对任意的多项式}f(x),\ f(A)\alpha = f(\lambda)\alpha,\ \text{当矩阵} \\ &A\text{可逆时，还有}f(A^{-1})\alpha = f(\lambda^{-1})\alpha. \\ & \\ &\text{【注】该定理在考试中有很重要的应用，不但要记住其结论而且要掌握其推理过程.} \\ &\text{应用举例：设}A\alpha = 2\alpha,\ \alpha \neq \boldsymbol{0},\ \text{则} \\ &(A^2 + 3A + E)\alpha = A^2\alpha + 3A\alpha + E\alpha = A(2\alpha) + 3 \times 2\alpha + \alpha = 2^2\alpha + 3 \times 2\alpha + \alpha = 11\alpha. \\ & \\ &\text{定理2：设}f(x)\text{为任意多项式，如果矩阵}A\text{满足}f(A) = \boldsymbol{0},\ \text{则}A\text{的任一特征值}\lambda \\ &\text{满足}f(\lambda) = 0. \\ & \\ &\text{定理3：设矩阵}A\text{所有的特征值为}\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n\text{（其中可以有一样的，也可以有虚数），} \\ &\text{则有}\lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n = \sum_{i=1}^n a_{ii},\ \prod_{i=1}^n \lambda_i = |A|. \end{aligned}定理1：设Aα=λα, α=0, 则对任意的多项式f(x), f(A)α=f(λ)α, 当矩阵A可逆时，还有f(A−1)α=f(λ−1)α.【注】该定理在考试中有很重要的应用，不但要记住其结论而且要掌握其推理过程.应用举例：设Aα=2α, α=0, 则(A2+3A+E)α=A2α+3Aα+Eα=A(2α)+3×2α+α=22α+3×2α+α=11α.定理2：设f(x)为任意多项式，如果矩阵A满足f(A)=0, 则A的任一特征值λ满足f(λ)=0.定理3：设矩阵A所有的特征值为λ1,λ2,⋯,λn（其中可以有一样的，也可以有虚数），则有λ1+λ2+⋯+λn=i=1∑naii, i=1∏nλi=∣A∣.
特征值的重数与线性无关的特征向量的个数
定理：设矩阵A的特征值λ为k重特征值，则λ至多有k个线性无关的特征向量.\text{定理：设矩阵}A\text{的特征值}\lambda\text{为}k\text{重特征值，则}\lambda\text{至多有}k\text{个线性无关的特征向量.}定理：设矩阵A的特征值λ为k重特征值，则λ至多有k个线性无关的特征向量.
数值型矩阵的特征值与特征向量
![![[Pasted image 20251122090341.png]]](https://i-blog.csdnimg.cn/direct/70a3ae08fe9d444ca4bd27cabc40019a.png)
解1：∣A−λE∣=∣3−λ−2−4−26−λ−2−4−23−λ∣=∣3−λ−2λ−7−26−λ0−4−27−λ∣=∣−1−λ−40−26−λ0−4−27−λ∣=(7−λ)[(λ−6)(λ+1)−8]=(7−λ)(λ−7)(λ+2), 得特征值7,7,−2A−7E=(−4−2−4−2−1−2−4−2−4)→(1121000000), 特征向量为k1(−1210)+k2(−101), k1,k2不全为零A−(−2)E=A+2E=(5−2−4−28−2−4−25)→(1−415−2−4−4−25)→(1−41018−90−189)→(1−4102−1000)→(10−101−12000)→(10−101−12000), 特征向量为k3(1121), k3≠0\begin{aligned} \\ &\text{解1：}|A-\lambda E| = \begin{vmatrix} 3-\lambda & -2 & -4 \\ -2 & 6-\lambda & -2 \\ -4 & -2 & 3-\lambda \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 3-\lambda & -2 & \lambda-7 \\ -2 & 6-\lambda & 0 \\ -4 & -2 & 7-\lambda \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} -1-\lambda & -4 & 0 \\ -2 & 6-\lambda & 0 \\ -4 & -2 & 7-\lambda \end{vmatrix} \\ &= (7-\lambda)\left[(\lambda-6)(\lambda+1) - 8\right] = (7-\lambda)(\lambda-7)(\lambda+2),\ \text{得特征值}7,7,-2 \\ & \\ &A-7E = \begin{pmatrix} -4 & -2 & -4 \\ -2 & -1 & -2 \\ -4 & -2 & -4 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\ \text{特征向量为}k_1\begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + k_2\begin{pmatrix} -1 \\ 0\\ 1 \end{pmatrix},\ k_1,k_2\text{不全为零} \\ & \\ &A-(-2)E = A+2E = \begin{pmatrix} 5 & -2 & -4 \\ -2 & 8 & -2 \\ -4 & -2 & 5 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & -4 & 1 \\ 5 & -2 & -4 \\ -4 & -2 & 5 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & -4 & 1 \\ 0 & 18 & -9 \\ 0 & -18 & 9 \end{pmatrix}\\& \to \begin{pmatrix} 1 & -4 & 1 \\ 0 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -\frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -\frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\ \text{特征向量为}k_3\begin{pmatrix} 1 \\ \frac{1}{2} \\ 1 \end{pmatrix},\ k_3 \neq 0 \end{aligned}解1：∣A−λE∣=3−λ−2−4−26−λ−2−4−23−λ=3−λ−2−4−26−λ−2λ−707−λ=−1−λ−2−4−46−λ−2007−λ=(7−λ)[(λ−6)(λ+1)−8]=(7−λ)(λ−7)(λ+2), 得特征值7,7,−2A−7E=−4−2−4−2−1−2−4−2−4→1002100100, 特征向量为k1−2110+k2−101, k1,k2不全为零A−(−2)E=A+2E=5−2−4−28−2−4−25→15−4−4−2−21−45→100−418−181−99→100−4201−10→100010−1−210→100010−1−210, 特征向量为k31211, k3=0
解2：A−7E=(−4−2−4−2−1−2−4−2−4), r(A−7E)=1,A−7E的特征值为0,0,−9. 0的特征向量为k1(−1210)+k2(−101), k1,k2不全为零;−9的特征向量为k3(−4−2−4), k3≠0.A的特征值为7,7,−2. 7的特征向量为k1(−1210)+k2(−101), k1,k2不全为零;−2的特征向量为k3(−4−2−4), k3≠0.\begin{aligned} &\text{解2：}A - 7E = \begin{pmatrix} -4 & -2 & -4 \\ -2 & -1 & -2 \\ -4 & -2 & -4 \end{pmatrix},\ r(A - 7E) = 1, \\ & \\ &A - 7E\text{的特征值为}0,0,-9.\ 0\text{的特征向量为}k_1\begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + k_2\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix},\ k_1,k_2\text{不全为零}; \\ &-9\text{的特征向量为}k_3\begin{pmatrix} -4 \\ -2 \\ -4 \end{pmatrix},\ k_3 \neq 0. \\ & \\ &A\text{的特征值为}7,7,-2.\ 7\text{的特征向量为}k_1\begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + k_2\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix},\ k_1,k_2\text{不全为零}; \\ &-2\text{的特征向量为}k_3\begin{pmatrix} -4 \\ -2 \\ -4 \end{pmatrix},\ k_3 \neq 0. \end{aligned}解2：A−7E=−4−2−4−2−1−2−4−2−4, r(A−7E)=1,A−7E的特征值为0,0,−9. 0的特征向量为k1−2110+k2−101, k1,k2不全为零;−9的特征向量为k3−4−2−4, k3=0.A的特征值为7,7,−2. 7的特征向量为k1−2110+k2−101, k1,k2不全为零;−2的特征向量为k3−4−2−4, k3=0.
法2补充：
求特征值：
秩为 1 的矩阵的特征值性质：
- 秩为 1 的 n 阶矩阵有 n−1 个特征值为 0（这里 n=3，故有 2 个 0 特征值）；
- 第三个特征值为矩阵的迹（主对角线元素之和），即 −4+(−1)+(−4)=−9−4+(−1)+(−4)=−9−4+(−1)+(−4)=−9。
因此，A−7EA−7EA−7E 的特征值为 0,0,−90,0,−90,0,−9。
求特征向量：
对应特征值 −9：解齐次方程组 (A−7E+9E)x=(A+2E)x=0(A−7E+9E)x=(A+2E)x=0(A−7E+9E)x=(A+2E)x=0（此处可通过观察矩阵行的比例关系）
−9的特征向量为k3(−4−2−4), k3≠0. -9\text{的特征向量为}k_3\begin{pmatrix} -4 \\ -2 \\ -4 \end{pmatrix},\ k_3 \neq 0. −9的特征向量为k3−4−2−4, k3=0.
非零特征值对应的特征向量计算：对于秩为1的矩阵 A=αβT（其中 α,β 是列向量），其非零特征值 λ=βTα（即矩阵的迹）对应的特征向量就是 α.在本题中，矩阵 A−7E 是秩为1的矩阵，且可表示为 (A−7E)=αβT（其中 α=(−4−2−4), βT=(1121)，满足行成比例的特点）。根据特征向量的定义 (A−7E)x=λx，将 λ=−9 和 α=(−4−2−4) 代入验证：(A−7E)α=αβTα=α(βTα)=α⋅(−9)=−9α这说明 α=(−4−2−4) 满足特征向量的定义，因此它就是 A−7E 对应特征值 −9 的特征向量。\begin{aligned} &\text{非零特征值对应的特征向量计算：} \\ &\text{对于秩为1的矩阵 } A = \alpha\beta^T \text{（其中 } \alpha,\beta \text{ 是列向量），其非零特征值 } \lambda = \beta^T\alpha \text{（即矩阵的迹）对应的特征向量就是 } \alpha. \\ & \\ &\text{在本题中，矩阵 } A-7E \text{ 是秩为1的矩阵，且可表示为 } (A-7E) = \alpha\beta^T \text{（其中 } \alpha = \begin{pmatrix} -4 \\ -2 \\ -4 \end{pmatrix},\ \beta^T = \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} & 1 \end{pmatrix} \text{，满足行成比例的特点）。} \\ & \\ &\text{根据特征向量的定义 } (A-7E)\boldsymbol{x} = \lambda\boldsymbol{x} \text{，将 } \lambda = -9 \text{ 和 } \alpha = \begin{pmatrix} -4 \\ -2 \\ -4 \end{pmatrix} \text{ 代入验证：} \\ &(A-7E)\alpha = \alpha\beta^T\alpha = \alpha\left(\beta^T\alpha\right) = \alpha \cdot (-9) = -9\alpha \\ &\text{这说明 } \alpha = \begin{pmatrix} -4 \\ -2 \\ -4 \end{pmatrix} \text{ 满足特征向量的定义，因此它就是 } A-7E \text{ 对应特征值 } -9 \text{ 的特征向量。} \end{aligned}非零特征值对应的特征向量计算：对于秩为1的矩阵 A=αβT（其中 α,β 是列向量），其非零特征值 λ=βTα（即矩阵的迹）对应的特征向量就是 α.在本题中，矩阵 A−7E 是秩为1的矩阵，且可表示为 (A−7E)=αβT（其中 α=−4−2−4, βT=(1211)，满足行成比例的特点）。根据特征向量的定义 (A−7E)x=λx，将 λ=−9 和 α=−4−2−4 代入验证：(A−7E)α=αβTα=α(βTα)=α⋅(−9)=−9α这说明 α=−4−2−4 满足特征向量的定义，因此它就是 A−7E 对应特征值 −9 的特征向量。
【小结】求特征值主要是求行列式∣λE−A∣；特征值λ的所有特征向量就是齐次线性方程组(λE−A)x=0的所有非零解，需要注意的是特征向量一定是非零的。\begin{aligned} &\text{【小结】求特征值主要是求行列式}|\lambda E - A|；\text{特征值}\lambda\text{的所有特征向量就是齐次线性} \\ &\text{方程组}(\lambda E - A)\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}\text{的所有非零解，需要注意的是特征向量一定是非零的。} \end{aligned}【小结】求特征值主要是求行列式∣λE−A∣；特征值λ的所有特征向量就是齐次线性方程组(λE−A)x=0的所有非零解，需要注意的是特征向量一定是非零的。
![![[Pasted image 20251122220739.png]]](https://i-blog.csdnimg.cn/direct/df9a76549f514e7baafbec3c6671dc45.png)
解：A=(11⋯122⋯2⋮⋮⋮nn⋯n)+αE=B+αE.B的特征值为0 (n−1重), n(n+1)2.A的特征值为α (n−1重), n(n+1)2+α.∣A∣=αn−1⋅(n(n+1)2+α).\begin{aligned} &\text{解：}A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 2 & 2 & \cdots & 2 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ n & n & \cdots & n \end{pmatrix} + \alpha E = B + \alpha E. \\ & \\ &B\text{的特征值为}0\ (n-1\text{重}),\ \frac{n(n+1)}{2}. \\ & \\ &A\text{的特征值为}\alpha\ (n-1\text{重}),\ \frac{n(n+1)}{2} + \alpha. \\ & \\ &|A| = \alpha^{n-1} \cdot \left( \frac{n(n+1)}{2} + \alpha \right). \end{aligned}解：A=12⋮n12⋮n⋯⋯⋯12⋮n+αE=B+αE.B的特征值为0 (n−1重), 2n(n+1).A的特征值为α (n−1重), 2n(n+1)+α.∣A∣=αn−1⋅(2n(n+1)+α).
对于 n 阶矩阵，其行列式等于所有特征值的乘积（包括重特征值的重数）
![![[Pasted image 20251123003758.png]]](https://i-blog.csdnimg.cn/direct/2c0a2599afcf4a0e8a52d0198dc50601.png)
(1) 令 B=A−E=(−2222−2−22−2−2).B 的特征值为 0, 0, −6.A 的特征值为 1, 1, −5.(2) E+A−1 的特征值为 2, 2, 45.\begin{aligned} &(1)\ \text{令}\ B = A - E = \begin{pmatrix} -2 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & -2 \\ 2 & -2 & -2 \end{pmatrix}. \\ &B\ \text{的特征值为}\ 0,\ 0,\ -6. \\ &A\ \text{的特征值为}\ 1,\ 1,\ -5. \\ & \\ &(2)\ E + A^{-1}\ \text{的特征值为}\ 2,\ 2,\ \frac{4}{5}. \end{aligned}(1) 令 B=A−E=−2222−2−22−2−2.B 的特征值为 0, 0, −6.A 的特征值为 1, 1, −5.(2) E+A−1 的特征值为 2, 2, 54.
【小结】准秩为1矩阵：设 A 为n 阶矩阵，若 A 可写成 B+λE，且 r(B)=1，则称A 为淮秩为1矩阵；判定：根据 a13 和 a23 的关系，本题中 a13=−a23，则 a11−1=−a21，经验证可知r(A−E)=1，则 A 为淮秩为1矩阵，进而可快速计算特征值和特征向量。 \begin{aligned} &\text{【小结】准秩为1矩阵：设}\ A\ \text{为}n\ \text{阶矩阵，若}\ A\ \text{可写成}\ B+\lambda E，\text{且}\ r(B)=1，\text{则称} \\ &A\ \text{为淮秩为1矩阵；} \\ & \\ &\text{判定：根据}\ a_{13}\ \text{和}\ a_{23}\ \text{的关系，本题中}\ a_{13}=-a_{23}，\text{则}\ a_{11}-1=-a_{21}，\text{经验证可知} \\ &r(A-E)=1，\text{则}\ A\ \text{为淮秩为1矩阵，进而可快速计算特征值和特征向量。} \end{aligned} 【小结】准秩为1矩阵：设 A 为n 阶矩阵，若 A 可写成 B+λE，且 r(B)=1，则称A 为淮秩为1矩阵；判定：根据 a13 和 a23 的关系，本题中 a13=−a23，则 a11−1=−a21，经验证可知r(A−E)=1，则 A 为淮秩为1矩阵，进而可快速计算特征值和特征向量。
练习：设 A=(−6461−63361)，求 λ 使 r(A+λE)=1.B=A+8E=(246123369)，B 的特征值为 0, 0, 13；A 的特征值为 −8, −8, 5；特征向量： (−210), (−301), (213). \begin{aligned} &\text{练习：设}\ A = \begin{pmatrix} -6 & 4 & 6 \\ 1 & -6 & 3 \\ 3 & 6 & 1 \end{pmatrix}，\text{求}\ \lambda\ \text{使}\ r(A + \lambda E) = 1. \\ & \\ &B = A + 8E = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 6 & 9 \end{pmatrix}， \\ &B\ \text{的特征值为}\ 0,\ 0,\ 13； \\ &A\ \text{的特征值为}\ -8,\ -8,\ 5； \\ & \\ &\text{特征向量：}\ \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},\ \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix},\ \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}. \end{aligned} 练习：设 A=−6134−66631，求 λ 使 r(A+λE)=1.B=A+8E=213426639，B 的特征值为 0, 0, 13；A 的特征值为 −8, −8, 5；特征向量： −210, −301, 213.
练习：设 A=(18244251671445)，求 λ 使 r(A+λE)=1.λ=−17.B=A−17E=(124481671428)，B 的特征值为 0, 0, 37；A 的特征值为 17, 17, 54；特征向量： (−210), (−401), (147).\begin{aligned} &\text{练习：设}\ A = \begin{pmatrix} 18 & 2 & 4 \\ 4 & 25 & 16 \\ 7 & 14 & 45 \end{pmatrix}，\text{求}\ \lambda\ \text{使}\ r(A + \lambda E) = 1. \\ &\lambda = -17. \\ & \\ &B = A - 17E = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 4 & 8 & 16 \\ 7 & 14 & 28 \end{pmatrix}， \\ &B\ \text{的特征值为}\ 0,\ 0,\ 37； \\ &A\ \text{的特征值为}\ 17,\ 17,\ 54； \\ & \\ &\text{特征向量：}\ \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},\ \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix},\ \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 7 \end{pmatrix}. \end{aligned}练习：设 A=18472251441645，求 λ 使 r(A+λE)=1.λ=−17.B=A−17E=147281441628，B 的特征值为 0, 0, 37；A 的特征值为 17, 17, 54；特征向量： −210, −401, 147.
补充：
A=αβT,Aα=αβTα=(βTα)α=tr(A)α. \begin{aligned} A &= \alpha \beta^T, \\ A\alpha &= \alpha \beta^T \alpha = \left( \beta^T \alpha \right) \alpha = \text{tr}(A) \alpha. \end{aligned} AAα=αβT,=αβTα=(βTα)α=tr(A)α.
快速计算特征值的七种矩阵：1. 行列式为零(不满秩，r(A)<n，不可逆，列（行）向量线性相关，Ax=0有非零解)：特征值含02. 上（下）三角矩阵：特征值为对角线元素；3. 秩为1的矩阵：特征值为0 (n−1重)，tr(A)；4. 准秩为1的矩阵：f(A)的特征值为f(λ)；5. 每行的和为a：特征值为a；6. 分块矩阵：特征值为A与B的特征值的并集，如(AOOB), (ACOB), (AOCB)；7. 某行（列）除对角线元素之外均为零：该对角线元素为一个特征值，其余特征值从余子式求解，例如(201635102). \begin{aligned} &\text{快速计算特征值的七种矩阵：} \\ &1.\ \text{行列式为零(不满秩，}r(A)<n，\text{不可逆，列（行）向量线性相关，}Ax=0\text{有非零解} \text{)：特征值含}0\\ &2.\ \text{上（下）三角矩阵：特征值为对角线元素；} \\ &3.\ \text{秩为1的矩阵：特征值为}0\ (n-1\text{重})，\text{tr}(A)； \\ &4.\ \text{准秩为1的矩阵：}f(A)\text{的特征值为}f(\lambda)； \\ &5.\ \text{每行的和为}a：\text{特征值为}a； \\ &6.\ \text{分块矩阵：特征值为}A\text{与}B\text{的特征值的并集，如} \\ &\quad \begin{pmatrix} A & O \\ O & B \end{pmatrix},\ \begin{pmatrix} A & C \\ O & B \end{pmatrix},\ \begin{pmatrix} A & O \\ C & B \end{pmatrix}； \\ &7.\ \text{某行（列）除对角线元素之外均为零：该对角线元素为一个特征值，其余特征值从余子式求解，例如} \\ &\quad \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 6 & 3 & 5 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}. \end{aligned} 快速计算特征值的七种矩阵：1. 行列式为零(不满秩，r(A)<n，不可逆，列（行）向量线性相关，Ax=0有非零解)：特征值含02. 上（下）三角矩阵：特征值为对角线元素；3. 秩为1的矩阵：特征值为0 (n−1重)，tr(A)；4. 准秩为1的矩阵：f(A)的特征值为f(λ)；5. 每行的和为a：特征值为a；6. 分块矩阵：特征值为A与B的特征值的并集，如(AOOB), (AOCB), (ACOB)；7. 某行（列）除对角线元素之外均为零：该对角线元素为一个特征值，其余特征值从余子式求解，例如261030152.
扫一扫
674
被折叠的 条评论
为什么被折叠?
到【灌水乐园】发言
