![![[Pasted image 20251119192439.png]]](https://i-blog.csdnimg.cn/direct/63e6452282d24a71b06f5f4f13e31d3b.png)
基础解系的条件：是解、无关、极大
证：A(α1+α2)=Aα1+Aα2=0+0=0,故α1+α2为Ax=0的解.同理可证α2+α3, α3+α4为Ax=0的解.(α1+α2, α2+α3, α3+α4)=(α1, α2, α3)(101110011)∣101110011∣=∣10101−1011∣≠0, 故(101110011)可逆，乘以可逆矩阵秩不改变.则r(α1+α2, α2+α3, α3+α4)=r(α1, α2, α3)=3.\begin{aligned} &\text{证：}A(\alpha_1+\alpha_2) = A\alpha_1 + A\alpha_2 = 0 + 0 = 0, \\ &\quad\text{故}\alpha_1+\alpha_2\text{为}Ax=0\text{的解.} \\ &\quad\text{同理可证}\alpha_2+\alpha_3,\ \alpha_3+\alpha_4\text{为}Ax=0\text{的解.} \\ &\quad(\alpha_1+\alpha_2,\ \alpha_2+\alpha_3,\ \alpha_3+\alpha_4) = (\alpha_1,\ \alpha_2,\ \alpha_3)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \\ &\quad\begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} \neq 0,\ \text{故}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\text{可逆，乘以可逆矩阵秩不改变.} \\ &\quad\text{则}r(\alpha_1+\alpha_2,\ \alpha_2+\alpha_3,\ \alpha_3+\alpha_4) = r(\alpha_1,\ \alpha_2,\ \alpha_3) = 3. \\ \end{aligned}证：A(α1+α2)=Aα1+Aα2=0+0=0,故α1+α2为Ax=0的解.同理可证α2+α3, α3+α4为Ax=0的解.(α1+α2, α2+α3, α3+α4)=(α1, α2, α3)110011101110011101=1000111−11=0, 故110011101可逆，乘以可逆矩阵秩不改变.则r(α1+α2, α2+α3, α3+α4)=r(α1, α2, α3)=3.
故α1+α2, α2+α3, α3+α1线性无关.α1, α2, α3为Ax=0的一个基础解系，且Ax=0的解空间维数为3，即其基础解系含有3个向量则α1+α2, α2+α3, α3+α1也为Ax=0的一个基础解系.\begin{aligned} &\text{故}\alpha_1+\alpha_2,\ \alpha_2+\alpha_3,\ \alpha_3+\alpha_1\text{线性无关.} \\ &\alpha_1,\ \alpha_2,\ \alpha_3\text{为}Ax=0\text{的一个基础解系，且}Ax=0\text{的解空间维数为3，即其基础解系含有3个向量} \\ &\text{则}\alpha_1+\alpha_2,\ \alpha_2+\alpha_3,\ \alpha_3+\alpha_1\text{也为}Ax=0\text{的一个基础解系.} \\ \end{aligned}故α1+α2, α2+α3, α3+α1线性无关.α1, α2, α3为Ax=0的一个基础解系，且Ax=0的解空间维数为3，即其基础解系含有3个向量则α1+α2, α2+α3, α3+α1也为Ax=0的一个基础解系.
【小结】证明基础解系的步骤：第一、先说明向量组中的向量均为齐次线性方程组的解；第二、说明向量组线性无关；第三、说明向量组的向量的个数与系数矩阵的秩的和为未知数的个数n。\begin{aligned} &\text{【小结】证明基础解系的步骤：} \\ &\quad\text{第一、先说明向量组中的向量均为齐次线性方程组的解；} \\ &\quad\text{第二、说明向量组线性无关；} \\ &\quad\text{第三、说明向量组的向量的个数与系数矩阵的秩的和为未知数的个数}n\text{。} \\ \end{aligned}【小结】证明基础解系的步骤：第一、先说明向量组中的向量均为齐次线性方程组的解；第二、说明向量组线性无关；第三、说明向量组的向量的个数与系数矩阵的秩的和为未知数的个数n。
![![[Pasted image 20251119205751.png]]](https://i-blog.csdnimg.cn/direct/569d3b6e40bb4fa4b6f3b76dc7169c00.png)
因为AB=0AB=0AB=0，所以r(A)+r(B)≤3r(A)+r(B)\le 3r(A)+r(B)≤3
解：当k≠9时，r(B)=2, r(A)≤3−r(B)=1, 又A非零矩阵，故r(A)=1,AB=0则B的列向量为Ax=0的解，Ax=0的通解为c1(123)+c2(36k), c1,c2∈R当k=9时，r(B)=1, r(A)≤3−1=2,若r(A)=2, Ax=0的通解为c3(123), c3∈R若r(A)=1, A=(abck1ak1bk1ck2ak2bk2c)→(abc000000)→(1baca000000),不妨设a≠0, 通解为c4(−ba10)+c5(−ca01), c4,c5∈R\begin{aligned} &\text{解：当}k \neq 9\text{时，}r(B)=2,\ r(A) \leq 3 - r(B)=1,\ \text{又}A\text{非零矩阵，故}r(A)=1, \\ &\quad AB=0\text{则}B\text{的列向量为}Ax=0\text{的解，}Ax=0\text{的通解为}c_1\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + c_2\begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ k \end{pmatrix},\ c_1,c_2\in\mathbb{R} \\ &\text{当}k=9\text{时，}r(B)=1,\ r(A) \leq 3 - 1=2, \\ &\quad\text{若}r(A)=2,\ Ax=0\text{的通解为}c_3\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix},\ c_3\in\mathbb{R} \\ &\quad\text{若}r(A)=1,\ A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ k_{1}a & k_{1}b & k_{1}c \\ k_{2}a & k_{2}b & k_{2}c \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} a & b & c \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & \frac{b}{a} & \frac{c}{a} \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \\ &\quad\quad\text{不妨设}a \neq 0,\ \text{通解为}c_4\begin{pmatrix} -\frac{b}{a} \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + c_5\begin{pmatrix} -\frac{c}{a} \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix},\ c_4,c_5\in\mathbb{R} \\ \end{aligned}解：当k=9时，r(B)=2, r(A)≤3−r(B)=1, 又A非零矩阵，故r(A)=1,AB=0则B的列向量为Ax=0的解，Ax=0的通解为c1123+c236k, c1,c2∈R当k=9时，r(B)=1, r(A)≤3−1=2,若r(A)=2, Ax=0的通解为c3123, c3∈R若r(A)=1, A=ak1ak2abk1bk2bck1ck2c→a00b00c00→100ab00ac00,不妨设a=0, 通解为c4−ab10+c5−ac01, c4,c5∈R
小结
已知AB=0,①若r(A)+r(B)<n，则B的列向量是部分的Ax=0的线性无关解；②若r(A)+r(B)=n，则B的列向量含所有的Ax=0的线性无关解.eg:A=(111222333), B=(123−1−2−3000)\begin{aligned} &\text{已知}AB=0, \\ &\quad\text{①若}r(A) + r(B) < n\text{，则}B\text{的列向量是部分的}Ax=0\text{的线性无关解；} \\ &\quad\text{②若}r(A) + r(B) = n\text{，则}B\text{的列向量含所有的}Ax=0\text{的线性无关解.} \\ &\text{eg:} \\ &\quad A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 3 \end{pmatrix},\ B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & -2 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \\ \end{aligned}已知AB=0,①若r(A)+r(B)<n，则B的列向量是部分的Ax=0的线性无关解；②若r(A)+r(B)=n，则B的列向量含所有的Ax=0的线性无关解.eg:A=123123123, B=1−102−203−30
【小结】将抽象型线性方程组的基础解系的计算过程总结为如下三个步骤：（1）确定系数矩阵A的秩r(A)；（2）找出Ax=0的n−r(A)个解向量；（3）说明这n−r(A)个解向量是线性无关的。\begin{aligned} &\text{【小结】将抽象型线性方程组的基础解系的计算过程总结为如下三个步骤：} \\ &\quad\text{（1）确定系数矩阵}A\text{的秩}r(A)； \\ &\quad\text{（2）找出}Ax = 0\text{的}n-r(A)\text{个解向量；} \\ &\quad\text{（3）说明这}n-r(A)\text{个解向量是线性无关的。} \\ \end{aligned}【小结】将抽象型线性方程组的基础解系的计算过程总结为如下三个步骤：（1）确定系数矩阵A的秩r(A)；（2）找出Ax=0的n−r(A)个解向量；（3）说明这n−r(A)个解向量是线性无关的。
![![[Pasted image 20251119213520.png]]](https://i-blog.csdnimg.cn/direct/ef1d903793344dd7aa6934de2600082f.png)
r(A)=3, r(A∗)=1r(A)+r(A∗)=4A⋅A∗=∣A∣E=0,A的列向量含所有的A∗x=0的线性无关解\begin{aligned} &r(A) = 3,\ r(A^*) = 1 \\ &r(A) + r(A^*) = 4 \\ &A \cdot A^* = |A|E = 0, \\ &A\text{的列向量含所有的}A^*x = 0\text{的线性无关解} \\ \end{aligned}r(A)=3, r(A∗)=1r(A)+r(A∗)=4A⋅A∗=∣A∣E=0,A的列向量含所有的A∗x=0的线性无关解
A12≠0,α1, α2, α4线性无关.\begin{aligned} &A_{12} \neq 0, \\ &\alpha_1,\ \alpha_2,\ \alpha_4\text{线性无关}. \\ \end{aligned}A12=0,α1, α2, α4线性无关.
![![[Pasted image 20251119223220.png]]](https://i-blog.csdnimg.cn/direct/724be2a72da44bffbe43a5822f41a622.png)
解：(2−14−3⋮−4101−1⋮−33110⋮1707−3⋮3)→(101−1⋮−30−12−1⋮201−23⋮100001⋮6)→(101−1⋮−301−21⋮−20001⋮60000⋮0)→(1010⋮301−20⋮−80001⋮60000⋮0),则齐次通解为k(−1210), k∈R\begin{aligned} &\text{解：} \begin{pmatrix} 2 & -1 & 4 & -3 & \vdots & -4 \\ 1 & 0 & 1 & -1 & \vdots & -3 \\ 3 & 1 & 1 & 0 & \vdots & 1 \\ 7 & 0 & 7 & -3 & \vdots & 3 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & -1 & \vdots & -3 \\ 0 & -1 & 2 & -1 & \vdots & 2 \\ 0 & 1 & -2 & 3 & \vdots & 10 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \vdots & 6 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & -1 & \vdots & -3 \\ 0 & 1 & -2 & 1 & \vdots & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \vdots & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \vdots & 0 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 & \vdots & 3 \\ 0 & 1 & -2 & 0 & \vdots & -8 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \vdots & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \vdots & 0 \end{pmatrix}, \\ &\quad\text{则齐次通解为}k\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},\ k\in\mathbb{R} \end{aligned}解：2137−10104117−3−10−3⋮⋮⋮⋮−4−313→10000−11012−20−1−131⋮⋮⋮⋮−32106→100001001−200−1110⋮⋮⋮⋮−3−260→100001001−2000010⋮⋮⋮⋮3−860,则齐次通解为k−1210, k∈R
非齐次特解为(3−806), 则非齐次通解为k(−1210)+(3−806), k∈R\begin{aligned} &\text{非齐次特解为}\begin{pmatrix} 3 \\ -8 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix},\ \text{则非齐次通解为}k\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 \\ -8 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix},\ k\in\mathbb{R} \\ \end{aligned}非齐次特解为3−806, 则非齐次通解为k−1210+3−806, k∈R
【小结】①非齐次线性方程组求通解的步骤为：第一、通过初等行变换将增广矩阵化为简单阶梯形矩阵；第二、找出主元，其余变量为自由量；第三、对自由量赋值代入齐次方程组，解出主元对应值，得出齐次线性方程组的通解；第四、对自由量全部赋值为0代入非齐次方程组，解出主元对应值，得出非齐次线性方程组的特解；第五、齐次通+非齐特=非齐通。②注意以下两点：第一、是对增广矩阵做初等行变换，不是系数矩阵；第二、对自由量赋值时，需要注意分辨清楚代入的是齐次还是非齐次方程组。\begin{aligned} &\text{【小结】} \\ &\quad\text{①非齐次线性方程组求通解的步骤为：} \\ &\quad\quad\text{第一、通过初等行变换将增广矩阵化为简单阶梯形矩阵；} \\ &\quad\quad\text{第二、找出主元，其余变量为自由量；} \\ &\quad\quad\text{第三、对自由量赋值代入齐次方程组，解出主元对应值，得出齐次线性方程组的通解；} \\ &\quad\quad\text{第四、对自由量全部赋值为}\mathbf{0}\text{代入非齐次方程组，解出主元对应值，得出非齐次线性方程组的特解；} \\ &\quad\quad\text{第五、齐次通+非齐特=非齐通。} \\ &\quad\text{②注意以下两点：} \\ &\quad\quad\text{第一、是对增广矩阵做初等行变换，不是系数矩阵；} \\ &\quad\quad\text{第二、对自由量赋值时，需要注意分辨清楚代入的是齐次还是非齐次方程组。} \\ \end{aligned}【小结】①非齐次线性方程组求通解的步骤为：第一、通过初等行变换将增广矩阵化为简单阶梯形矩阵；第二、找出主元，其余变量为自由量；第三、对自由量赋值代入齐次方程组，解出主元对应值，得出齐次线性方程组的通解；第四、对自由量全部赋值为0代入非齐次方程组，解出主元对应值，得出非齐次线性方程组的特解；第五、齐次通+非齐特=非齐通。②注意以下两点：第一、是对增广矩阵做初等行变换，不是系数矩阵；第二、对自由量赋值时，需要注意分辨清楚代入的是齐次还是非齐次方程组。
![![[Pasted image 20251119230344.png]]](https://i-blog.csdnimg.cn/direct/58deee0429674f5d8871d0ebb154f4aa.png)
齐次Ax=0的线性无关解的个数：n−r(A)非齐次Ax=β的线性无关解的个数：n−r(A)+1\begin{aligned} &\text{齐次}Ax=0\text{的线性无关解的个数：}n - r(A) \\ &\text{非齐次}Ax=\beta\text{的线性无关解的个数：} n - r(A)+1\end{aligned}齐次Ax=0的线性无关解的个数：n−r(A)非齐次Ax=β的线性无关解的个数：n−r(A)+1
不能直接用结论
解：(1) 设Ax=β的三个解为α1,α2,α3,α1−α2, α1−α3为Ax=0的两个线性无关的解,则4−r(A)≥2 ⟹ r(A)≤2,又A中含有一个二阶非零子式，故r(A)≥2,则r(A)=2.\begin{aligned} &\text{解：(1) 设}Ax = \beta\text{的三个解为}\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \\ &\quad\alpha_1 - \alpha_2,\ \alpha_1 - \alpha_3\text{为}Ax = 0\text{的两个线性无关的解}, \\ &\quad\text{则}4 - r(A) \geq 2\implies r(A) \leq 2, \\ &\quad\text{又}A\text{中含有一个二阶非零子式，故}r(A) \geq 2, \\ &\quad\text{则}r(A) = 2. \end{aligned}解：(1) 设Ax=β的三个解为α1,α2,α3,α1−α2, α1−α3为Ax=0的两个线性无关的解,则4−r(A)≥2⟹r(A)≤2,又A中含有一个二阶非零子式，故r(A)≥2,则r(A)=2.
(2)(1111⋮−1435−1⋮−1a13b⋮1)→(1111⋮−10−11−5⋮301−a3−ab−a⋮1+a)→(1111⋮−10−11−5⋮3004−2a4a+b−5⋮4−2a),{4−2a=04a+b−5=0 ⟹ {a=2b=−3,(1111⋮−101−15⋮−30000⋮0)→(102−4⋮201−15⋮−30000⋮0),非齐次通解为k1(−2110)+k2(4−501)+(2−300), k1,k2∈R\begin{aligned} &\text{(2)} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & \vdots & -1 \\ 4 & 3 & 5 & -1 & \vdots & -1 \\ a & 1 & 3 & b & \vdots & 1 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & \vdots & -1 \\ 0 & -1 & 1 & -5 & \vdots & 3 \\ 0 & 1-a & 3-a & b-a & \vdots & 1+a \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & \vdots & -1 \\ 0 & -1 & 1 & -5 & \vdots & 3 \\ 0 & 0 & 4-2a & 4a+b-5 & \vdots & 4-2a \end{pmatrix}, \\ &\quad\begin{cases} 4-2a = 0 \\ 4a + b - 5 = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} a = 2 \\ b = -3 \end{cases}, \\ &\quad\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & \vdots & -1 \\ 0 & 1 & -1 & 5 & \vdots & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \vdots & 0 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & -4 & \vdots & 2 \\ 0 & 1 & -1 & 5 & \vdots & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \vdots & 0 \end{pmatrix}, \\ &\quad\text{非齐次通解为}k_1\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + k_2\begin{pmatrix} 4 \\ -5 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},\ k_1,k_2\in\mathbb{R} \end{aligned}(2)14a1311531−1b⋮⋮⋮−1−11→1001−11−a113−a1−5b−a⋮⋮⋮−131+a→1001−10114−2a1−54a+b−5⋮⋮⋮−134−2a,{4−2a=04a+b−5=0⟹{a=2b=−3,1001101−10150⋮⋮⋮−1−30→1000102−10−450⋮⋮⋮2−30,非齐次通解为k1−2110+k24−501+2−300, k1,k2∈R
【小结】①齐次线性方程组的解空间的秩与系数矩阵的秩的和为n，非齐次线性方程组的解空间的秩与系数矩阵的秩的和为n+1；②在数学中，“有”是“至少有”的意思，“有且仅有”是“恰有”的意思\begin{aligned} &\text{【小结】} \\ &\quad\text{①齐次线性方程组的解空间的秩与系数矩阵的秩的和为}n \\& \text{，非齐次线性方程组的解空间的秩与系数矩阵的秩的和为}n+1\text{；} \\ &\quad\text{②在数学中，“有”是“至少有”的意思，“有且仅有”是“恰有”的意思} \\ \end{aligned}【小结】①齐次线性方程组的解空间的秩与系数矩阵的秩的和为n，非齐次线性方程组的解空间的秩与系数矩阵的秩的和为n+1；②在数学中，“有”是“至少有”的意思，“有且仅有”是“恰有”的意思
![![[Pasted image 20251120004252.png]]](https://i-blog.csdnimg.cn/direct/710a3f5aa2d14bbd9df158d81c88c3bf.png)
解：由η1,η2,η3为Ax=β的3个线性无关的解则3−r(A)+1≥3, 即r(A)≤1若A=0, Ax=β为非齐次,β≠0 则Ax=β无解. 相矛盾则A≠0, r(A)=1, Ax=0含2个线性无关的解η2−η1,η3−η1为Ax=0的2个线性无关的解\begin{aligned} &\text{解：由}\eta_1,\eta_2,\eta_3\text{为}Ax = \beta\text{的3个线性无关的解} \\ &\quad\text{则}3 - r(A) + 1 \geq 3,\ \text{即}r(A) \leq 1 \\ &\quad\text{若}A = 0,\ Ax = \beta\text{为非齐次},\beta \neq 0\ \text{则}Ax = \beta\text{无解. 相矛盾} \\ &\quad\text{则}A \neq 0,\ r(A) = 1,\ Ax = 0\text{含2个线性无关的解} \\ &\quad\eta_2 - \eta_1,\eta_3 - \eta_1\text{为}Ax = 0\text{的2个线性无关的解} \\ \end{aligned}解：由η1,η2,η3为Ax=β的3个线性无关的解则3−r(A)+1≥3, 即r(A)≤1若A=0, Ax=β为非齐次,β=0 则Ax=β无解. 相矛盾则A=0, r(A)=1, Ax=0含2个线性无关的解η2−η1,η3−η1为Ax=0的2个线性无关的解
A(η1+η22)=12Aη1+12Aη2=12β+12β=β\begin{aligned} &A\left( \frac{\eta_1 + \eta_2}{2} \right) \\ &= \frac{1}{2}A\eta_1 + \frac{1}{2}A\eta_2 \\ &= \frac{1}{2}\beta + \frac{1}{2}\beta = \beta \end{aligned}A(2η1+η2)=21Aη1+21Aη2=21β+21β=β
【小结】解的线性组合实际上是对自由项的线性组合的线性方程组的解，有如下两种推广：①两个向量的任意线性组合：如果 η1 为线性方程组 Ax=β1 的解， η2 为线性方程组 Ax=β2 的解，则 k1η1+k2η2 为线性方程组 Ax=k1β1+k2β2 的解；②多个向量的任意线性组合：如果 η1 为线性方程组 Ax=β1 的解， η2 为线性方程组 Ax=β2 的解， ⋯ ， ηr 为线性方程组 Ax=βr 的解，则 η1,η2,⋯ ,ηr 的任意线性组合 k1η1+k2η2+⋯+krηr ，为 Ax=k1β1+k2β2+⋯+krβr 的解. \begin{aligned} &\text{【小结】} \\ & \text{解的线性组合实际上是对自由项的线性组合的线性方程组的解，} \\ & \text{有如下两种推广：} \\ &① \text{两个向量的任意线性组合：} \\ &\text{如果}\ \boxed{\eta_1}\ \text{为线性方程组}\ Ax = \beta_1\ \text{的解，} \\ & \text{}\ \boxed{\eta_2}\ \text{为线性方程组}\ Ax = \beta_2\ \text{的解，} \\ & \text{则}\ k_1\boxed{\eta_1} + k_2\boxed{\eta_2}\ \text{为线性方程组}\ Ax = k_1\beta_1 + k_2\beta_2\ \text{的解；} \\ &② \text{多个向量的任意线性组合：} \\ & \text{如果}\ \boxed{\eta_1}\ \text{为线性方程组}\ Ax = \beta_1\ \text{的解，} \\ & \text{}\ \boxed{\eta_2}\ \text{为线性方程组}\ Ax = \beta_2\ \text{的解，}\ \cdots\ \text{，} \\ & \text{}\ \boxed{\eta_r}\ \text{为线性方程组}\ Ax = \beta_r\ \text{的解，} \\ & \text{则}\ \boxed{\eta_1},\boxed{\eta_2},\cdots,\boxed{\eta_r}\ \text{的任意线性组合}\ k_1\boxed{\eta_1} + k_2\boxed{\eta_2} + \cdots + k_r\boxed{\eta_r}\ \text{，} \\ & \text{为}\ Ax = k_1\beta_1 + k_2\beta_2 + \cdots + k_r\beta_r\ \text{的解.} \\ \end{aligned} 【小结】解的线性组合实际上是对自由项的线性组合的线性方程组的解，有如下两种推广：①两个向量的任意线性组合：如果 η1 为线性方程组 Ax=β1 的解， η2 为线性方程组 Ax=β2 的解，则 k1η1+k2η2 为线性方程组 Ax=k1β1+k2β2 的解；②多个向量的任意线性组合：如果 η1 为线性方程组 Ax=β1 的解， η2 为线性方程组 Ax=β2 的解， ⋯ ， ηr 为线性方程组 Ax=βr 的解，则 η1,η2,⋯,ηr 的任意线性组合 k1η1+k2η2+⋯+krηr ，为 Ax=k1β1+k2β2+⋯+krβr 的解.
![![[Pasted image 20251120012656.png]]](https://i-blog.csdnimg.cn/direct/54e6d4c573024c9ea192b2af73563dc6.png)
解：(1) 因A有3个不同的特征值，故A可相似对角化α3=α1+2α2，故∣A∣=∣α1 α2 α3∣=∣α1 α2 α1+2α2∣=∣α1 α2 0∣=0故A含有一个特征值0，两个非零特征值λ1,λ2 (λ1≠λ2)A∼(λ1λ20)，根据相似矩阵具有相同的秩，故r(A)=2\begin{aligned} &\text{解：(1) 因}A\text{有3个不同的特征值，故}A\text{可相似对角化} \\ &\quad\alpha_3 = \alpha_1 + 2\alpha_2\text{，故}|A| = |\alpha_1\ \alpha_2\ \alpha_3| = |\alpha_1\ \alpha_2\ \alpha_1 + 2\alpha_2| = |\alpha_1\ \alpha_2\ 0| = 0 \\ &\quad\text{故}A\text{含有一个特征值}0\text{，两个非零特征值}\lambda_1,\lambda_2\ (\lambda_1 \neq \lambda_2) \\ &\quad A \sim \begin{pmatrix} \lambda_1 & & \\ & \lambda_2 & \\ & & 0 \end{pmatrix}\text{，根据相似矩阵具有相同的秩，故}r(A) = 2 \\ \end{aligned}解：(1) 因A有3个不同的特征值，故A可相似对角化α3=α1+2α2，故∣A∣=∣α1 α2 α3∣=∣α1 α2 α1+2α2∣=∣α1 α2 0∣=0故A含有一个特征值0，两个非零特征值λ1,λ2 (λ1=λ2)A∼λ1λ20，根据相似矩阵具有相同的秩，故r(A)=2
拓：无穷多解：① Ax=0有两个不同的解3−r(A)≥1② Ax=0有非零解 3−r(A)≥1③ Ax=0有两个无关的解3−r(A)≥2Ax=0有两个相关的解（不算无穷多解，因为两个零解也相关）3−r(A)≥1 ×\begin{aligned} &\text{拓：无穷多解：} \\ &①\ Ax = 0\text{有两个不同的解}\quad 3 - r(A) \geq 1 \\ &②\ Ax = 0\text{有非零解}\quad\quad\ 3 - r(A) \geq 1 \\ &③\ Ax = 0\text{有两个无关的解}\quad 3 - r(A) \geq 2 \\ &\quad Ax = 0\text{有两个相关的解（不算无穷多解，因为两个零解也相关）}\quad 3 - r(A) \geq 1\ \times \\ \end{aligned}拓：无穷多解：① Ax=0有两个不同的解3−r(A)≥1② Ax=0有非零解 3−r(A)≥1③ Ax=0有两个无关的解3−r(A)≥2Ax=0有两个相关的解（不算无穷多解，因为两个零解也相关）3−r(A)≥1 ×
解：(2) r(A)=2, α1+2α2−α3=0, (α1 α2 α3)(12−1)=0, 故(11−1)为Ax=0的一个解Ax=0的通解为k(12−1), k∈R又β=α1+α2+α3, 故(α1 α2 α3)(111)=β, 故(111)为Ax=β的一个特解Ax=β的通解为k(12−1)+(111), k∈R\begin{aligned} &\text{解：(2) } r(A) = 2,\ \alpha_1 + 2\alpha_2 - \alpha_3 = 0,\ (\alpha_1\ \alpha_2\ \alpha_3)\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} = 0,\ \text{故}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\text{为}Ax = 0\text{的一个解} \\ &\quad Ax = 0\text{的通解为}k\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix},\ k\in\mathbb{R} \\ &\quad\text{又}\beta = \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3,\ \text{故}(\alpha_1\ \alpha_2\ \alpha_3)\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \beta,\ \text{故}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\text{为}Ax = \beta\text{的一个特解} \\ &\quad Ax = \beta\text{的通解为}k\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix},\ k\in\mathbb{R} \\ \end{aligned}解：(2) r(A)=2, α1+2α2−α3=0, (α1 α2 α3)12−1=0, 故11−1为Ax=0的一个解Ax=0的通解为k12−1, k∈R又β=α1+α2+α3, 故(α1 α2 α3)111=β, 故111为Ax=β的一个特解Ax=β的通解为k12−1+111, k∈R
拓：A=(α1,α2,α3,α4), α4=α1+α2+α3,α1=α2+α3, α2=α3,如果 β=α1+2α2+3α3+4α4, 求非齐次线性方程组 Ax=β 的通解。\begin{aligned} &\text{拓：}A = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4),\ \alpha_4 = \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3, \\ &\quad\alpha_1 = \alpha_2 + \alpha_3,\ \alpha_2 = \alpha_3, \\ &\quad\text{如果}\ \beta = \alpha_1 + 2\alpha_2 + 3\alpha_3 + 4\alpha_4,\ \text{求非齐次线性方程组}\ Ax = \beta\ \text{的通解。} \\ \end{aligned}拓：A=(α1,α2,α3,α4), α4=α1+α2+α3,α1=α2+α3, α2=α3,如果 β=α1+2α2+3α3+4α4, 求非齐次线性方程组 Ax=β 的通解。
解：A=(α3+α3,α3,α3,2α3+2α3)→(α3,0,0,0)若α3=0, 则β=0, Ax=β不是非齐次. 故r(A)=1故Ax=β的通解为 (1234)+k1(111−1)+k2(1−1−10)+k3(01−10), k1,k2,k3∈R\begin{aligned} &\text{解：}A = (\alpha_3 + \alpha_3, \alpha_3, \alpha_3, 2\alpha_3 + 2\alpha_3) \to (\alpha_3, 0, 0, 0) \\ &\quad\text{若}\alpha_3 = 0,\ \text{则}\beta = 0,\ Ax = \beta\text{不是非齐次. 故}r(A) = 1 \\ &\quad\text{故}Ax = \beta\text{的通解为}\ \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + k_1\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} + k_2\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + k_3\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix},\ k_1,k_2,k_3\in\mathbb{R} \\ \end{aligned}解：A=(α3+α3,α3,α3,2α3+2α3)→(α3,0,0,0)若α3=0, 则β=0, Ax=β不是非齐次. 故r(A)=1故Ax=β的通解为 1234+k1111−1+k21−1−10+k301−10, k1,k2,k3∈R
【小结】计算非齐次线性方程组的通解Ax=β 时，设A=(α1,α2,α3)，则① 可由k1α1+k2α2+k3α3=0，得出齐次线性方程组Ax=0的解为(k1,k2,k3)，若有多个等式，即可得出多个解；② 可由l1α1+l2α2+l3α3=β，得出非齐次线性方程组Ax=β 的特解为(l1,l2,l3)。\begin{aligned} &\text{【小结】计算非齐次线性方程组的通解}Ax = \boxed{\beta}\ \text{时，设}A = (\boxed{\alpha_1},\boxed{\alpha_2},\boxed{\alpha_3})\text{，则} \\ &①\ \text{可由}k_1\boxed{\alpha_1} + k_2\boxed{\alpha_2} + k_3\boxed{\alpha_3} = 0\text{，得出齐次线性方程组}Ax = 0\text{的解为}(k_1,k_2,k_3)\text{，若有多个等式，即可得出多个解；} \\ &②\ \text{可由}l_1\boxed{\alpha_1} + l_2\boxed{\alpha_2} + l_3\boxed{\alpha_3} = \boxed{\beta}\text{，得出非齐次线性方程组}Ax = \boxed{\beta}\ \text{的特解为}(l_1,l_2,l_3)\text{。} \\ \end{aligned}【小结】计算非齐次线性方程组的通解Ax=β 时，设A=(α1,α2,α3)，则① 可由k1α1+k2α2+k3α3=0，得出齐次线性方程组Ax=0的解为(k1,k2,k3)，若有多个等式，即可得出多个解；② 可由l1α1+l2α2+l3α3=β，得出非齐次线性方程组Ax=β 的特解为(l1,l2,l3)。
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