考研数一|不定积分的计算(笔记)

概念

原函数

设函数$F(x)$在区间$I$上可导，对区间$I$上的每一点都有$F^{\prime }(x)=f(x)$，则称函数$F(x)$是$f(x)$在区间$I$上的一个原函数

1. 提到原函数一般要指明区间，不加特别说明的情况下一般默认为$f(x)$的定义域
2. 如果$f(x)$在区间$I$上存在原函数，那么它的原函数连续且不唯一
   $$\begin{array}{c}F(x)=x^2,f(x)=2x,x^2是2x的一个原函数\\ F(x)=\ln x(x>0),f(x)=\frac{1}{x}(x\ne 0),\ln x是\frac{1}{x}在x>0上的一个原函数\\ F(x)=\ln |x|(x\ne 0),f(x)=\frac{1}{x}(x\ne 0),\ln x是\frac{1}{x}在x\ne 0上的一个原函数\\ F(x)=x^2,f(x)=2x,F^{\prime }(x)=f(x),x^2是2x在x\in R上的一个原函数\\ F(x)=x^2+C,C为任意常数,\\ f(x)=2x,F^{\prime }(x)=f(x),x^2+C是2x在x\in R上的全体原函数\end{array}$$

不定积分

函数$f(x)$在区间$I$上的所有原函数组成的集合，成为$f(x)$在区间$I$上的不定积分，记作$\int f(x)dx$
$$\begin{array}{c}\int 2xdx=x^2+C_1\\ \int 2xdx=x^2+C_2\\ \int 2xdx-\int 2xdx=C\end{array}$$

1. 若$F(x)$是$f(x)$在区间$I$上的一个原函数，那么$\int f(x)dx=F(x)+C,C\in R$
2. 求导数与求不定积分互为逆运算
3. 不定积分运算时出现任意常数时，一般的运算为$C\pm C=C,C^2=C$

性质

基本性质

设$f(x),g(x)$均存在原函数
$$\int [f(x)\pm g(x)]dx=\int f(x)dx\pm \int g(x)dx$$
$$\int kf(x)dx=k\int f(x)dx(k\in R,k\ne 0)$$
$${\left(\int f(x)dx\right)}^{\prime }=f(x)或d\int f(x)dx=f(x)dx$$
$$\int F^{\prime }(x)dx=F(x)+C或\int dF(x)dx=F(x)+C$$
k为与积分变量无关的常数或变量(非零)

1. 当$k=0$时，$\int kf(x)dx=\int 0f(x)dx=C$，而$k\int f(x)dx=0\cdot [F(x)+C]=0$，两边是不相等的
2. 不定积分满足线性性质

方法

公式法

$$\int x^{a}dx=\frac{1}{a+1}{x}^{a+1}+C(a\ne -1)$$
$$\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+C$$
$$\int a^{x}dx=\frac{1}{\ln a}{a}^x+C(a>0且a\ne 1)$$
$$\int e^{x}dx=e^x+C</$$