数学规划模型|线性规划|整数规划

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规划模型的概念

如何来分配有限资源，从而达到人们期望目标的优化分配数学模型，它在数学建模中处于中心地位。
这类问题一般可以归结为数学规划模型，规划模型的应用极为广泛，其作用已为越来越多的人所重视
规划模型是数学建模竞赛中最常见的一类数学模型

规划模型的数学描述

将一个优化问题用数学式子来描述，即求函数
$u=f(x)\qquad x=(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})$
$x$ 是一个向量
在约束条件
$h_{i}(x)=0,i=1,2,3,\dots,m$
m个等式和
$g_{j}(x)\le 0(g_{j}(x)\ge 0),j=1,2,\dots ,p$
p个不等式

$u = f (x)$ 这个函数，在一组等式和一组不等式的约束下，来取最大值或最小值
$\begin{array}{} x \to 决策变量 \\ f(x) \to 目标函数 \\ x \in 可行域 \end{array}$

整理一下
$\begin{array}{} 一个规划问题的数学模型可表示为 \\ min(or\quad max)u=f(x)\quad x\in \Omega \\ s.t.\quad h_{i}(x)=0,i=1,2,3,\dots,m. \\ g_{j}(x)\le 0(g_{j}(x)\ge 0),j=1,2,\dots ,p. \end{array}$

$u = f (x)$ 是目标函数
$x$ 是决策变量
$h (x) 和 g (x)$ 分别为等式约束和不等式约束，统称为约束条件
s.t.就是subject to，受约束于的意思

规划模型的分类

根据是否存在约束条件
1. 有约束问题
2. 无约束问题
根据决策变量的性质
1. 静态问题
2. 动态问题
根据目标函数和约束条件表达式的性质
1. 线性规划
2. 非线性规划
3. 二次规划
4. 多目标规划
根据决策变量的允许值
1. 整数规划(0-1)
2. 实数规划

建立规划模型的一般步骤

确定决策变量
确定目标函数的表达式
寻找约束条件

线性规划模型

线性规划模型的一般形式

若在如下的模型中， $f(x),hi(x),gi(x),i=1,2,…,m,j=1,2,…,pf(x),h_{i}(x),g_{i}(x),i=1,2,\dots,m,j=1,2,\dots,p$ ，均为线性函数，则称该模型为线性规划模型
$\begin{array}{} max(或min)z=c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+\dots+c_{n}x_{n} \\ s.t.\quad \left\{\begin{matrix} a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\dots+a_{1n}x_{n}(\le=\ge)b_{1} \\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\dots+a_{2n}x_{n}(\le=\ge)b_{2} \\ \dots \\ a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\dots+a_{mn}x_{n}(\le=\ge)b_{m} \end{matrix}\right. \\ x_{j}\ge 0(j=1,2,\dots,n) \end{array}$

把目标函数写成线性表达式
$x_{j}$ 是决策变量
约束条件里不管是等式还是不等式，都是线性函数
- 如同线代里的线性方程组
如果 $x_{j}$ 不是实数取值，是整数取值，又称为整数线性规划

建立线性规划模型的通常步骤

确定决策变量：
是模型要确定的未知变量，最重要的参数，是决策者解决实际问题的控制变量
确定目标函数：
目标函数决定线性规划问题的优化方向，是重要的组成部分。
实际问题的目标可表示为决策变量的一个线性函数，并根据实际问题的优化方向求其最大化或最小化
确定约束方程：
通过约束方程来描述和反映一系列客观描述条件或环境的限制，这些限制通过一系列线性等式或不等式方程组来描述
变量取值限制：
一般情况下，决策变量取正值(或负值)。因此，模型中应有变量的非负约束即 $xj≤0x_{j}\le 0$ 。

任务分配问题

![[Pasted image 20240807081425.png]]

![[Pasted image 20240807081455.png]]

决策变量，设甲车床，生产工件1 $x_{1}$ 件，生产工件2 $x_{2}$ 件，生产工件3 $x_{3}$ 件，乙车床，生产工件1 $x_{4}$ 件，生产工件2 $x_{5}$ 件，生产工件3 $x_{6}$ 件
目标函数是希望加工费用最低
$min\ z=13x_{1}+9x_{2}+10x_{3}+11x_{4}+12x_{5}+8x_{6}$
约束条件：台时的限制和加工工件数量的限制
$\begin{array}{} 0.4x_{1}+1.1x_{2}+1.0x_{3}\le 800 \\ 0.5x_{4}+1.2x_{5}+1.3x_{6}\le 900 \\ x_{1}+x_{4}=400 \\ x_{2}+x_{5}=600 \\ x_{3}+x_{6}=500 \\ x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6}\ge 0 \end{array}$
解
设在甲车床上加工工件1、2、3的数量分别为 $x_{1},x_{2},x_{3}$ ，在乙车床上加工工件1、2、3的数量分别为 $x_{4},x_{5},x_{6}$ ，可建立以下线性规划模型
$\begin{array}{} min\ z=13x_{1}+9x_{2}+10x_{3}+11x_{4}+12x_{5}+8x_{6} \\ s.t. \left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{4}=400 \\ x_{2}+x_{5}=600 \\ x_{3}+x_{6}=500 \\ 0.4x_{1}+1.1x_{2}+1.0x_{3}\le 800 \\ 0.5x_{4}+1.2x_{5}+1.3x_{6}\le 900 \\ x_{i}\ge 0,i=1,2,\dots ,6 \end{matrix}\right. \end{array}$

加工奶制品的生产计划

![[Pasted image 20240807084035.png]]

![[Pasted image 20240807084341.png]]

决策变量，这50桶里面，多少桶生产 $A_{1}$ 多少桶生产 $A_{2}$
$x_{1}$ 桶生产 $A_{1}$ ， $x_{2}$ 桶，生产 $A_{2}$
目标函数： $A_{1}$ 获利 $24⋅3x124\cdot 3x_{1}$ ， $A_{2}$ 获利 $16⋅4x216\cdot 4x_{2}$
$max\ z=72x_{1}+64x_{2}$
约束条件：
牛奶供应的限制，每天50桶
$x_{1}+x_{2}\le 50$
劳动时间的限制，每天480工时
$12x_{1}+8x_{2}\le 480$
$A_{1}$ 每天最多生产100公斤
$3x_{1}\le 100$
非负约束
$x_{1},x_{2}\ge 0$

线性规划模型的求解

简单线性规划模型的求解

对于一般只有两个决策变量的简单线性规划模型，可以通过图解法进行求解
$\begin{array}{} l_{1}: x_{1}+x_{2}=50 \\ l_{2}: 12x_{1}+8x_{2}=480 \\ l_{3}: 3x_{1}=100 \\ l_{1}: x_{1}=0,l_{5}:x_{2}=0 \end{array}$
![[Pasted image 20240807181054.png]]

在B(20,30)取得最优解
目标函数和约束条件是线性函数，可行域为直线段围成的凸多边形，目标函数的等值线为直线
最优解一定在凸多边形的某一个顶点取得

线性规划模型的软件求解

有许多求解数学规划模型的多种软件，如Matlab，Lingo，Excel，其中Lingo编程简单，易于操作，求解速度快，是求解规划模型的主要手段

Lingo编程入门

Lingo主要功能特色

既能解决线性规划问题，也有较强的求解非线性规划问题的能力
输入模型简练直观
运行速度快，计算能力强
内置建模语言，提供几十个内部函数，从而能以较少语句，较直观的方式描述较大规模的优化模型
将集合概念引入编程语言，很容易将实际问题转换为Lingo模型
能方便地与Excel、数据库等其他软件交换数据

需要注意的几个基本问题

尽量使用实数优化，减少整数约束和整数变量
尽量使用光滑优化，减少非光滑约束的个数
尽量少使用绝对值，符号函数，变量求最大最小值，四舍五入，取整函数
尽量使用线性模型，减少非线性约束和非线性变量的个数
合理设定变量上下界，尽可能给出变量初始值
模型中使用的参数数量级要适当(小于 $10^{3}$ )

需要注意的几个方面

正确阅读求解报告Solution Report
了解敏感性分析Range Report
集合的应用SETS
正确理解求解状态窗口Solver Status
学会设置基本的求解选项OPTIONS
掌握与外部文件的基本接口方法

Lingo编程中的重要细节

代码需要始终在英文半角状态下输入
Lingo编程中，一般 $<$ 等同于 $≤\le$ ， $>$ 等同于 $≥\ge$
除了程序头尾以及其他内置语句(model,end,sets,endsets,data,enddata)外，其他语句均需要以分号结尾
注释语句用 $!$ 开始，分号结束
Lingo默认状态下决策变量均为非负变量、
Lingo在代码编译时，可以先按照集合段，目标段，约束段，逐段编译，完全编译通过后通过菜单"Lingo-Generate-Display model"来查看代码实现的模型
Lingo代码错误最典型的是index错误，即变量下标的索引出错

Lingo求解

model:
min=13*x1+9*x2+10*x3+11*x4+12*x5+8*x6;
x1+x4=400;
x2+x5=600;
x3+x6=500;
0.4*x1+1.1*x2+x3<800;
0.5*x4+1.2*x6+1.3*x6<900;
end

![[Pasted image 20240807203853.png]]

目标函数值是14458.18
总共迭代次数2

加工奶制品求解

model:
max=72*x1+64*x2;
x1+x2<50;
12*x1+8*x2<480;
3*x1<100;
end

![[Pasted image 20240807204631.png]]

最优解是z=3360，x1是20，x2是30
Row表示代码中的四个式子

1对应3360，表示max取到了3360
2对应0，表示50牛奶都被用来生产
3对应0，表示480个工时全部被用来生产
4对应40，表示100里面含有40的余量
原料无剩余，时间无剩余，加工能力剩余40
资源剩余为0的约束称为紧约束

Dual Price 影子价格
最优解下，资源增加1单位，效益的增量

48表示牛奶增加1单位，利润增长48
2表示工时增加1单位，利润增长2
0表示加工能力增长不影响利润

35元可以买到一桶牛奶，买吗？
35<48，所以应该买

可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元？
应该<2

规划模型的Lingo多段式编程

集合段(SETS)
目标与约束段
数据段(DATA)：对集合的属性输入必要的常数数据
格式
属性=常数列表
常数列表中的数据用逗号分开，也可以用空格分开
变量名=？，运行时赋初值
初始段(INIT)：赋初值
计算段(CALC)：预处理

每个季度都有，需求量，正常生产400，加班生产450，库存费用20
$\begin{array}{} DEM:需求量 \\ RP:正常生产的产量 \\ OP:加班生产的产量 \\ INV:库存量 \end{array}$

目标函数
$min\sum_{I=1}^{4}[400RP(I)+450OP(I)+20INV(I)]$
约束条件

能力限制
$RP(I)\le 40,\quad I=1,2,3,4$
产品数量平衡方程
$\begin{array}{} INV(I)=INV(I-1)+RP(I)+OP(I)-DEM(I),\quad I=1,2,3,4 \\ INV(0)=10 \end{array}$
本季度的库存，等价于上个季度的库存+本季度正常生产+本季度的加班生产-本季度的需求
变量的非负约束

MODEL:
//集合段
SETS:
	QUARTERS/1,2,3,4/:DEM,RP,OP,INV;
ENDSETS
//目标段
MIN=@SUM(QUARTERS:400*RP+450*OP+20*INV);
	//约束段
@FOR(QUARTERS(I):RP(I)<40);
@FOR(QUARTERS(I)|I#GT#1:
	INV(I)=INV(I-1)+RP(I)+OP(I)-DEM(I););
INV(1)=10+RP(1)+OP(1)-DEM(1);
//数据段
DATA:
	DEM=40,60,75,25;
ENDDATA
END

I#GT#1，对I的取值进行限制，表示I大于1，I可以取2，3，4
![[Pasted image 20240807213209.png]]

![[Pasted image 20240807213218.png]]

结果表示生产总费用最小为78450

整数规划和0-1规划

整数规划问题的基本描述

要求全部或部分决策变量为整数的规划
分类：

纯整数规划
0-1整数规划
混合整数规划
求解：
满足整数要求的条件下确定达到的总体最优目标的最佳组合。其解为离散解

整数规划的数学描述

$\begin{array}{} min(or\quad max)u=f(x)\quad x\in \Omega \\ s.t.\quad h_{i}(x)=0,i=1,2,3,\dots,m. \\ g_{j}(x)\le 0(g_{j}(x)\ge 0),j=1,2,\dots ,p. \\ 其中决策变量x为整数，或者为0，1 \end{array}$
在Lingo编程中，决策变量为整数一般用 $@ g in (x)$ 表示；而0-1决策变量用 $@ bin (x)$ 表示

建设计划问题

![[Pasted image 20240807214412.png]]

![[Pasted image 20240807214424.png]]

设A、B两种类型的基地各建设 $x_{1},x_{2}$ 个
$\begin{array}{} max\ z=20x_{1}+10x_{2} \\ s.t. \left\{\begin{matrix} 2000x_{1}+5000x_{2}\le 13000 \\ 5x_{1}+4x_{2}\le 24 \\ x_{1}\ge 0,x_{2} \ge 0且为整数 \end{matrix}\right. \end{array}$

人员安排问题

![[Pasted image 20240807215722.png]]

![[Pasted image 20240807215747.png]]

因为每个服务员的工作时间会跨过4个时段
为使服务部门服务员总数最少
设前五个时段安排的服务员各为 $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}$
$\begin{array}{} min\ z=x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5} \\ \\ s.t. \left\{\begin{matrix} x_{1}\ge 8 \\ x_{1}+x_{2}\ge 10 \\ x_{1}+x_{2}+x_{3}\ge 7 \\ x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}\ge 6 \\ x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}\ge 9 \\ x_{3}+x_{4}+x_{5}\ge 12 \\ x_{4}+x_{5}\ge 5 \\ x_{5}\ge 2 \\ x_{j}\ge 0,j=1,2,3,4,5且为整数 \end{matrix}\right. \end{array}$

混合泳接力队的选拔

![[Pasted image 20240807220716.png]]

![[Pasted image 20240807220736.png]]

总共有120种组合方式
设甲是否蝶泳为 $x_{11}$ ，是否仰泳为 $x_{12}$ ，是否蛙泳为 $x_{13}$ ，是否自由泳为 $x_{14}$
以此类推
$x_{ij}=\left\{\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}\right.$ 取1表示，第i个人。去游第j种泳姿，取0表示第i个人，不游第j种泳姿

总共有20个决策变量，最终取1的只有四个，其他的都取0
表格里的成绩用 $C_{ij}$ 来表示
混合泳接力总成绩
$\sum_{i=1}^{5}\sum_{j=1}^{4}C_{ij}x_{ij}$
对运动员的约束：每个运动员最多参加一个项目
$\begin{array}{} x_{11}+x_{12}+x_{13}+x_{14}\le 1 \\ x_{21}+x_{22}+x_{23}+x_{24}\le 1 \\ x_{31}+x_{32}+x_{33}+x_{34}\le 1 \\ x_{41}+x_{42}+x_{43}+x_{44}\le 1 \\ x_{51}+x_{52}+x_{53}+x_{54}\le 1 \end{array}$
对泳姿的约束：每个项目必须有一个运动员参加
$\begin{array}{} x_{11}+x_{21}+x_{31}+x_{41}+x_{51}= 1 \\ x_{12}+x_{22}+x_{32}+x_{42}+x_{52}= 1 \\ x_{13}+x_{23}+x_{33}+x_{43}+x_{53}= 1 \\ x_{14}+x_{24}+x_{34}+x_{44}+x_{54}= 1 \end{array}$
在这里插入图片描述
目标函数：
$min\quad z=\sum_{i=1}^{5}\sum_{j=1}^{4}C_{ij}x_{ij}$
约束条件：
每人最多入选泳姿之一
$\sum_{j=1}^{4}x_{ij}\le 1\qquad i=1,\dots,5$
每种泳姿有且只有1人
$\sum_{i=1}^{5}x_{ij}\le 1\qquad j=1,\dots,4$
$x_{ij}=\left\{\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}\right.$

Lingo求解

MODEL:
sets:
	person/1..5/;
	position/1..4/;
	link(person,position):c,x;
endsets
data:
c=66.8,75.6,87,58.6,
57.2,66,66.4,53,
78,67.8,84.6,59.4,
70,74.2,69.6,57.2,
67.4,71,83.8,62.4;
enddata
min=@sum(link:c*x);

@for(person(i):@sum(position(j):x(i,j))<1);
@for(position(j):@sum(person(i):x(i,j))=1);

@for(link: @bin(x));
END

![[Pasted image 20240807224244.png]]

![[Pasted image 20240807223718.png]]

Matlab求解线性规划问题及优化工具箱

有关求解线性规划问题的命令

主要Matlab命令

X=linprog(c,A,b,Aeq,beq)
X=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)
X=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub,x0)
X=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub,x0,options)
[x,fval,exitflag,output]=linprog(...)

linprog基本函数
括号中的是输入项

用Matlab优化工具箱解线性规划

模型1
$\begin{array}{} Min\ z=cX \\ s.t.\ AX\le b \end{array}$
目标和约束都是矩阵形式
只有不等式约束
$x = l in p ro g (x, A, b)$

c是目标函数的系数
A是约束不等式的系数矩阵
b是约束不等式的右单项
x是输出的最优解
模型2
$\begin{array}{} Min\ z=cX \\ s.t.\ \left\{\begin{matrix} AX\le b \\ Aeq\cdot X=beq \end{matrix}\right. \end{array}$
$x = l in p ro g (x, A, b, A e q, b e q)$
模型3
$\begin{array}{} Min\ z=cX \\ s.t.\ \left\{\begin{matrix} AX\le b \\ Aeq\cdot X=beq \\ VLB\le X\le VUB \end{matrix}\right. \end{array}$

X=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)
X=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub,x0)

x0表示初始点

[x,fval]=linprog(...)

返回最优解x及x处的目标函数值fval

例子

$\begin{array}{} max\ z=0.4x_{1}+0.28x_{2}+0.32x_{3}+0.72x_{4}+0.64x_{5}+0.6x_{6} \\ s.t. \left\{\begin{matrix} 0.01x_{1}+0.01x_{2}+0.01x_{3}+0.03x_{4}+0.03x_{5}+0.03x_{6}\le 850 \\ 0.02x_{1}+0.05x_{4}\le 700 \\ 0.02x_{2}+0.05x_{5}\le 100 \\ 0.03x_{3}+0.08x_{6}\le 900 \\ x_{j}\ge 0\quad j=1,2,\dots,6 \end{matrix}\right. \end{array}$

c=[-0.4 -0.28 -0.32 -0.72 -0.64 -0.6];
A=[0.01 0.01 0.01 0.03 0.03 0.03;
0.02 0 0 0.05 0 0;
0 0.02 0 0 0.05 0;
0 0 0.03 0 0 0.08];
b=[850;700;100;900];
Aeq=[];beq=[];
vlb=[0;0;0;0;0;0];vub=[];
[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)

matlab只求解最小的情况，如果要求解最大，需要加一个负号，把整个目标函数转化为最小

任务分配问题

$\begin{array}{} min\ z=\begin{pmatrix} 13&9&10&11&12&8 \end{pmatrix} X\\ s.t.\ \begin{pmatrix} 0.4 & 1.1 &1&0&0&0 \\ 0&0&0&0.5&1.2&1.3 \\ \end{pmatrix} X\le\begin{pmatrix} 800 \\ 900 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 1&0&0&1&0&0 \\ 0&1&0&0&1&0 \\ 0&0&1&0&0&1 \end{pmatrix} X=\begin{pmatrix} 400 \\ 600 \\ 500 \end{pmatrix}, X=\begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \\ x_{5} \\ x_{6} \end{pmatrix}\ge 0 \end{array}$

f=[13 9 10 11 12 8];
A=[0.4 1.1 1 0 0 0
0 1 0 0 1 0
0 0 1 0 0 1];
beq=[400 600 500];
vlb=zeros(6,1);
vub=[];
[x,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)

zeros表示一个列向量，六行一列的0

用Matlab工具箱解整数或0-1规划

X=intlinprog(c,intcon,A,b,Aeq,beq)
X=intlinprog(c,intcon,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)
X=intlinprog(c,intcon,A,b,Aeq,beq,vlb,vub,x0)
X=intlinprog(c,intcon,A,b,Aeq,beq,vlb,vub,x0,options)
[x,fval,exitflag,output]=intlinprog(...)

intcon，用来指定整数变量