数学规划模型|线性规划|整数规划

原创最新推荐文章于 2026-09-22 10:57:24 发布 1.8k 阅读 AI写同款

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数学建模

ChoSeitaku

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数学建模——整数规划一部分或全部决策变量必须取整数值的规划问题称为整数规划。纯整数规划：全部决策变量都为整数；混合整数规划：决策变量有一部分是整数值，另一部分不是整数；0-1整数规划：决策变量只能取0或1的整数规划。整数线性规划模型（一个线性规划模型中的部分或全部决策变量为整数）一般形式：有时，也可以通过引入0-1变量将一些特定的非线性约束条件进行线性化。如果有m个相互排斥的约束条件，即同一时间只能有一个条件起作用，则引入m个0-1变量：和一个充分大的正常数M，则下面这一组m+1个约束条件就合于上述要求：例如求解如下整数规划：阅读详情

AI摘要

本文介绍了规划模型的概念、数学描述及其分类，包括线性规划与整数规划，并详细解释了如何建立这些模型及求解方法。

规划模型的概念

如何来分配有限资源，从而达到人们期望目标的优化分配数学模型，它在数学建模中处于中心地位。
这类问题一般可以归结为数学规划模型，规划模型的应用极为广泛，其作用已为越来越多的人所重视
规划模型是数学建模竞赛中最常见的一类数学模型

规划模型的数学描述

将一个优化问题用数学式子来描述，即求函数
$u=f(x)\qquad x=(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})$
$x$ 是一个向量
在约束条件
$h_{i}(x)=0,i=1,2,3,\dots,m$
m个等式和
$g_{j}(x)\le 0(g_{j}(x)\ge 0),j=1,2,\dots ,p$
p个不等式

$u = f (x)$ 这个函数，在一组等式和一组不等式的约束下，来取最大值或最小值
$\begin{array}{} x \to 决策变量 \\ f(x) \to 目标函数 \\ x \in 可行域 \end{array}$

整理一下
$\begin{array}{} 一个规划问题的数学模型可表示为 \\ min(or\quad max)u=f(x)\quad x\in \Omega \\ s.t.\quad h_{i}(x)=0,i=1,2,3,\dots,m. \\ g_{j}(x)\le 0(g_{j}(x)\ge 0),j=1,2,\dots ,p. \end{array}$

$u = f (x)$ 是目标函数
$x$ 是决策变量
$h (x) 和 g (x)$ 分别为等式约束和不等式约束，统称为约束条件
s.t.就是subject to，受约束于的意思

规划模型的分类

根据是否存在约束条件
1. 有约束问题
2. 无约束问题
根据决策变量的性质
1. 静态问题
2. 动态问题
根据目标函数和约束条件表达式的性质
1. 线性规划
2. 非线性规划
3. 二次规划
4. 多目标规划
根据决策变量的允许值
1. 整数规划(0-1)
2. 实数规划

建立规划模型的一般步骤

确定决策变量
确定目标函数的表达式
寻找约束条件

线性规划模型

线性规划模型的一般形式

若在如下的模型中， $f(x),hi(x),gi(x),i=1,2,…,m,j=1,2,…,pf(x),h_{i}(x),g_{i}(x),i=1,2,\dots,m,j=1,2,\dots,p$ ，均为线性函数，则称该模型为线性规划模型
$\begin{array}{} max(或min)z=c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+\dots+c_{n}x_{n} \\ s.t.\quad \left\{\begin{matrix} a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\dots+a_{1n}x_{n}(\le=\ge)b_{1} \\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\dots+a_{2n}x_{n}(\le=\ge)b_{2} \\ \dots \\ a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\dots+a_{mn}x_{n}(\le=\ge)b_{m} \end{matrix}\right. \\ x_{j}\ge 0(j=1,2,\dots,n) \end{array}$

把目标函数写成线性表达式
$x_{j}$ 是决策变量
约束条件里不管是等式还是不等式，都是线性函数
- 如同线代里的线性方程组
如果 $x_{j}$ 不是实数取值，是整数取值，又称为整数线性规划

建立线性规划模型的通常步骤

确定决策变量：
是模型要确定的未知变量，最重要的参数，是决策者解决实际问题的控制变量
确定目标函数：
目标函数决定线性规划问题的优化方向，是重要的组成部分。
实际问题的目标可表示为决策变量的一个线性函数，并根据实际问题的优化方向求其最大化或最小化
确定约束方程：
通过约束方程来描述和反映一系列客观描述条件或环境的限制，这些限制通过一系列线性等式或不等式方程组来描述
变量取值限制：
一般情况下，决策变量取正值(或负值)。因此，模型中应有变量的非负约束即 $xj≤0x_{j}\le 0$ 。

任务分配问题

![[Pasted image 20240807081425.png]]

![[Pasted image 20240807081455.png]]

决策变量，设甲车床，生产工件1 $x_{1}$ 件，生产工件2 $x_{2}$ 件，生产工件3 $x_{3}$ 件，乙车床，生产工件1 $x_{4}$ 件，生产工件2 $x_{5}$ 件，生产工件3 $x_{6}$ 件
目标函数是希望加工费用最低
$min\ z=13x_{1}+9x_{2}+10x_{3}+11x_{4}+12x_{5}+8x_{6}$
约束条件：台时的限制和加工工件数量的限制
$\begin{array}{} 0.4x_{1}+1.1x_{2}+1.0x_{3}\le 800 \\ 0.5x_{4}+1.2x_{5}+1.3x_{6}\le 900 \\ x_{1}+x_{4}=400 \\ x_{2}+x_{5}=600 \\ x_{3}+x_{6}=500 \\ x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6}\ge 0 \end{array}$
解
设在甲车床上加工工件1、2、3的数量分别为 $x_{1},x_{2},x_{3}$ ，在乙车床上加工工件1、2、3的数量分别为 $x_{4},x_{5},x_{6}$ ，可建立以下线性规划模型
$\begin{array}{} min\ z=13x_{1}+9x_{2}+10x_{3}+11x_{4}+12x_{5}+8x_{6} \\ s.t. \left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{4}=400 \\ x_{2}+x_{5}=600 \\ x_{3}+x_{6}=500 \\ 0.4x_{1}+1.1x_{2}+1.0x_{3}\le 800 \\ 0.5x_{4}+1.2x_{5}+1.3x_{6}\le 900 \\ x_{i}\ge 0,i=1,2,\dots ,6 \end{matrix}\right. \end{array}$

加工奶制品的生产计划

![[Pasted image 20240807084035.png]]

![[Pasted image 20240807084341.png]]

决策变量，这50桶里面，多少桶生产 $A_{1}$ 多少桶生产 $A_{2}$
$x_{1}$ 桶生产 $A_{1}$ ， $x_{2}$ 桶，生产 $A_{2}$
目标函数： $A_{1}$ 获利 $24⋅3x124\cdot 3x_{1}$ ， $A_{2}$ 获利 $16⋅4x216\cdot 4x_{2}$
$max\ z=72x_{1}+64x_{2}$
约束条件：
牛奶供应的限制，每天50桶
$x_{1}+x_{2}\le 50$
劳动时间的限制，每天480工时
$12x_{1}+8x_{2}\le 480$
$A_{1}$ 每天最多生产100公斤
$3x_{1}\le 100$
非负约束
$x_{1},x_{2}\ge 0$

线性规划模型的求解

简单线性规划模型的求解

对于一般只有两个决策变量的简单线性规划模型，可以通过图解法进行求解
$\begin{array}{} l_{1}: x_{1}+x_{2}=50 \\ l_{2}: 12x_{1}+8x_{2}=480 \\ l_{3}: 3x_{1}=100 \\ l_{1}: x_{1}=0,l_{5}:x_{2}=0 \end{array}$
![[Pasted image 20240807181054.png]]

在B(20,30)取得最优解
目标函数和约束条件是线性函数，可行域为直线段围成的凸多边形，目标函数的等值线为直线
最优解一定在凸多边形的某一个顶点取得

线性规划模型的软件求解

有许多求解数学规划模型的多种软件，如Matlab，Lingo，Excel，其中Lingo编程简单，易于操作，求解速度快，是求解规划模型的主要手段

Lingo编程入门

Lingo主要功能特色

既能解决线性规划问题，也有较强的求解非线性规划问题的能力
输入模型简练直观
运行速度快，计算能力强
内置建模语言，提供几十个内部函数，从而能以较少语句，较直观的方式描述较大规模的优化模型
将集合概念引入编程语言，很容易将实际问题转换为Lingo模型
能方便地与Excel、数据库等其他软件交换数据

需要注意的几个基本问题

尽量使用实数优化，减少整数约束和整数变量
尽量使用光滑优化，减少非光滑约束的个数
尽量少使用绝对值，符号函数，变量求最大最小值，四舍五入，取整函数
尽量使用线性模型，减少非线性约束和非线性变量的个数
合理设定变量上下界，尽可能给出变量初始值
模型中使用的参数数量级要适当(小于 $10^{3}$ )

需要注意的几个方面

正确阅读求解报告Solution Report
了解敏感性分析Range Report
集合的应用SETS
正确理解求解状态窗口Solver Status
学会设置基本的求解选项OPTIONS
掌握与外部文件的基本接口方法

Lingo编程中的重要细节

代码需要始终在英文半角状态下输入
Lingo编程中，一般 $<$ 等同于 $≤\le$ ， $>$ 等同于 $≥\ge$
除了程序头尾以及其他内置语句(model,end,sets,endsets,data,enddata)外，其他语句均需要以分号结尾
注释语句用 $!$ 开始，分号结束
Lingo默认状态下决策变量均为非负变量、
Lingo在代码编译时，可以先按照集合段，目标段，约束段，逐段编译，完全编译通过后通过菜单"Lingo-Generate-Display model"来查看代码实现的模型
Lingo代码错误最典型的是index错误，即变量下标的索引出错

Lingo求解

model:
min=13*x1+9*x2+10*x3+11*x4+12*x5+8*x6;
x1+x4=400;
x2+x5=600;
x3+x6=500;
0.4*x1+1.1*x2+x3<800;
0.5*x4+1.2*x6+1.3*x6<900;
end

![[Pasted image 20240807203853.png]]

目标函数值是14458.18
总共迭代次数2

加工奶制品求解

model:
max=72*x1+64*x2;
x1+x2<50;
12*x1+8*x2<480;
3*x1<100;
end

![[Pasted image 20240807204631.png]]

最优解是z=3360，x1是20，x2是30
Row表示代码中的四个式子

1对应3360，表示max取到了3360
2对应0，表示50牛奶都被用来生产
3对应0，表示480个工时全部被用来生产
4对应40，表示100里面含有40的余量
原料无剩余，时间无剩余，加工能力剩余40
资源剩余为0的约束称为紧约束

Dual Price 影子价格
最优解下，资源增加1单位，效益的增量

48表示牛奶增加1单位，利润增长48
2表示工时增加1单位，利润增长2
0表示加工能力增长不影响利润

35元可以买到一桶牛奶，买吗？
35<48，所以应该买

可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元？
应该<2

规划模型的Lingo多段式编程

集合段(SETS)
目标与约束段
数据段(DATA)：对集合的属性输入必要的常数数据
格式
属性=常数列表
常数列表中的数据用逗号分开，也可以用空格分开
变量名=？，运行时赋初值
初始段(INIT)：赋初值
计算段(CALC)：预处理

每个季度都有，需求量，正常生产400，加班生产450，库存费用20
$\begin{array}{} DEM:需求量 \\ RP:正常生产的产量 \\ OP:加班生产的产量 \\ INV:库存量 \end{array}$

目标函数
$min\sum_{I=1}^{4}[400RP(I)+450OP(I)+20INV(I)]$
约束条件

能力限制
$RP(I)\le 40,\quad I=1,2,3,4$
产品数量平衡方程
$\begin{array}{} INV(I)=INV(I-1)+RP(I)+OP(I)-DEM(I),\quad I=1,2,3,4 \\ INV(0)=10 \end{array}$
本季度的库存，等价于上个季度的库存+本季度正常生产+本季度的加班生产-本季度的需求
变量的非负约束

MODEL:
//集合段
SETS:
	QUARTERS/1,2,3,4/:DEM,RP,OP,INV;
ENDSETS
//目标段
MIN=@SUM(QUARTERS:400*RP+450*OP+20*INV);
	//约束段
@FOR(QUARTERS(I):RP(I)<40);
@FOR(QUARTERS(I)|I#GT#1:
	INV(I)=INV(I-1)+RP(I)+OP(I)-DEM(I););
INV(1)=10+RP(1)+OP(1)-DEM(1);
//数据段
DATA:
	DEM=40,60,75,25;
ENDDATA
END

I#GT#1，对I的取值进行限制，表示I大于1，I可以取2，3，4
![[Pasted image 20240807213209.png]]

![[Pasted image 20240807213218.png]]

结果表示生产总费用最小为78450

整数规划和0-1规划

整数规划问题的基本描述

要求全部或部分决策变量为整数的规划
分类：

纯整数规划
0-1整数规划
混合整数规划
求解：
满足整数要求的条件下确定达到的总体最优目标的最佳组合。其解为离散解

整数规划的数学描述

$\begin{array}{} min(or\quad max)u=f(x)\quad x\in \Omega \\ s.t.\quad h_{i}(x)=0,i=1,2,3,\dots,m. \\ g_{j}(x)\le 0(g_{j}(x)\ge 0),j=1,2,\dots ,p. \\ 其中决策变量x为整数，或者为0，1 \end{array}$
在Lingo编程中，决策变量为整数一般用 $@ g in (x)$ 表示；而0-1决策变量用 $@ bin (x)$ 表示

建设计划问题

![[Pasted image 20240807214412.png]]

![[Pasted image 20240807214424.png]]

设A、B两种类型的基地各建设 $x_{1},x_{2}$ 个
$\begin{array}{} max\ z=20x_{1}+10x_{2} \\ s.t. \left\{\begin{matrix} 2000x_{1}+5000x_{2}\le 13000 \\ 5x_{1}+4x_{2}\le 24 \\ x_{1}\ge 0,x_{2} \ge 0且为整数 \end{matrix}\right. \end{array}$

人员安排问题

![[Pasted image 20240807215722.png]]

![[Pasted image 20240807215747.png]]

因为每个服务员的工作时间会跨过4个时段
为使服务部门服务员总数最少
设前五个时段安排的服务员各为 $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}$
$\begin{array}{} min\ z=x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5} \\ \\ s.t. \left\{\begin{matrix} x_{1}\ge 8 \\ x_{1}+x_{2}\ge 10 \\ x_{1}+x_{2}+x_{3}\ge 7 \\ x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}\ge 6 \\ x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}\ge 9 \\ x_{3}+x_{4}+x_{5}\ge 12 \\ x_{4}+x_{5}\ge 5 \\ x_{5}\ge 2 \\ x_{j}\ge 0,j=1,2,3,4,5且为整数 \end{matrix}\right. \end{array}$

混合泳接力队的选拔

![[Pasted image 20240807220716.png]]

![[Pasted image 20240807220736.png]]

总共有120种组合方式
设甲是否蝶泳为 $x_{11}$ ，是否仰泳为 $x_{12}$ ，是否蛙泳为 $x_{13}$ ，是否自由泳为 $x_{14}$
以此类推
$x_{ij}=\left\{\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}\right.$ 取1表示，第i个人。去游第j种泳姿，取0表示第i个人，不游第j种泳姿

总共有20个决策变量，最终取1的只有四个，其他的都取0
表格里的成绩用 $C_{ij}$ 来表示
混合泳接力总成绩
$\sum_{i=1}^{5}\sum_{j=1}^{4}C_{ij}x_{ij}$
对运动员的约束：每个运动员最多参加一个项目
$\begin{array}{} x_{11}+x_{12}+x_{13}+x_{14}\le 1 \\ x_{21}+x_{22}+x_{23}+x_{24}\le 1 \\ x_{31}+x_{32}+x_{33}+x_{34}\le 1 \\ x_{41}+x_{42}+x_{43}+x_{44}\le 1 \\ x_{51}+x_{52}+x_{53}+x_{54}\le 1 \end{array}$
对泳姿的约束：每个项目必须有一个运动员参加
$\begin{array}{} x_{11}+x_{21}+x_{31}+x_{41}+x_{51}= 1 \\ x_{12}+x_{22}+x_{32}+x_{42}+x_{52}= 1 \\ x_{13}+x_{23}+x_{33}+x_{43}+x_{53}= 1 \\ x_{14}+x_{24}+x_{34}+x_{44}+x_{54}= 1 \end{array}$
在这里插入图片描述
目标函数：
$min\quad z=\sum_{i=1}^{5}\sum_{j=1}^{4}C_{ij}x_{ij}$
约束条件：
每人最多入选泳姿之一
$\sum_{j=1}^{4}x_{ij}\le 1\qquad i=1,\dots,5$
每种泳姿有且只有1人
$\sum_{i=1}^{5}x_{ij}\le 1\qquad j=1,\dots,4$
$x_{ij}=\left\{\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}\right.$

Lingo求解

MODEL:
sets:
	person/1..5/;
	position/1..4/;
	link(person,position):c,x;
endsets
data:
c=66.8,75.6,87,58.6,
57.2,66,66.4,53,
78,67.8,84.6,59.4,
70,74.2,69.6,57.2,
67.4,71,83.8,62.4;
enddata
min=@sum(link:c*x);

@for(person(i):@sum(position(j):x(i,j))<1);
@for(position(j):@sum(person(i):x(i,j))=1);

@for(link: @bin(x));
END

![[Pasted image 20240807224244.png]]

![[Pasted image 20240807223718.png]]

Matlab求解线性规划问题及优化工具箱

有关求解线性规划问题的命令

主要Matlab命令

X=linprog(c,A,b,Aeq,beq)
X=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)
X=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub,x0)
X=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub,x0,options)
[x,fval,exitflag,output]=linprog(...)

linprog基本函数
括号中的是输入项

用Matlab优化工具箱解线性规划

模型1
$\begin{array}{} Min\ z=cX \\ s.t.\ AX\le b \end{array}$
目标和约束都是矩阵形式
只有不等式约束
$x = l in p ro g (x, A, b)$

c是目标函数的系数
A是约束不等式的系数矩阵
b是约束不等式的右单项
x是输出的最优解
模型2
$\begin{array}{} Min\ z=cX \\ s.t.\ \left\{\begin{matrix} AX\le b \\ Aeq\cdot X=beq \end{matrix}\right. \end{array}$
$x = l in p ro g (x, A, b, A e q, b e q)$
模型3
$\begin{array}{} Min\ z=cX \\ s.t.\ \left\{\begin{matrix} AX\le b \\ Aeq\cdot X=beq \\ VLB\le X\le VUB \end{matrix}\right. \end{array}$

X=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)
X=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub,x0)

x0表示初始点

[x,fval]=linprog(...)

返回最优解x及x处的目标函数值fval

例子

$\begin{array}{} max\ z=0.4x_{1}+0.28x_{2}+0.32x_{3}+0.72x_{4}+0.64x_{5}+0.6x_{6} \\ s.t. \left\{\begin{matrix} 0.01x_{1}+0.01x_{2}+0.01x_{3}+0.03x_{4}+0.03x_{5}+0.03x_{6}\le 850 \\ 0.02x_{1}+0.05x_{4}\le 700 \\ 0.02x_{2}+0.05x_{5}\le 100 \\ 0.03x_{3}+0.08x_{6}\le 900 \\ x_{j}\ge 0\quad j=1,2,\dots,6 \end{matrix}\right. \end{array}$

c=[-0.4 -0.28 -0.32 -0.72 -0.64 -0.6];
A=[0.01 0.01 0.01 0.03 0.03 0.03;
0.02 0 0 0.05 0 0;
0 0.02 0 0 0.05 0;
0 0 0.03 0 0 0.08];
b=[850;700;100;900];
Aeq=[];beq=[];
vlb=[0;0;0;0;0;0];vub=[];
[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)

matlab只求解最小的情况，如果要求解最大，需要加一个负号，把整个目标函数转化为最小

任务分配问题

$\begin{array}{} min\ z=\begin{pmatrix} 13&9&10&11&12&8 \end{pmatrix} X\\ s.t.\ \begin{pmatrix} 0.4 & 1.1 &1&0&0&0 \\ 0&0&0&0.5&1.2&1.3 \\ \end{pmatrix} X\le\begin{pmatrix} 800 \\ 900 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 1&0&0&1&0&0 \\ 0&1&0&0&1&0 \\ 0&0&1&0&0&1 \end{pmatrix} X=\begin{pmatrix} 400 \\ 600 \\ 500 \end{pmatrix}, X=\begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \\ x_{5} \\ x_{6} \end{pmatrix}\ge 0 \end{array}$

f=[13 9 10 11 12 8];
A=[0.4 1.1 1 0 0 0
0 1 0 0 1 0
0 0 1 0 0 1];
beq=[400 600 500];
vlb=zeros(6,1);
vub=[];
[x,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)

zeros表示一个列向量，六行一列的0

用Matlab工具箱解整数或0-1规划

X=intlinprog(c,intcon,A,b,Aeq,beq)
X=intlinprog(c,intcon,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)
X=intlinprog(c,intcon,A,b,Aeq,beq,vlb,vub,x0)
X=intlinprog(c,intcon,A,b,Aeq,beq,vlb,vub,x0,options)
[x,fval,exitflag,output]=intlinprog(...)

intcon，用来指定整数变量