2019.04.03【校内模拟】战略游戏(game)（组合数学）（生成函数）（FFT）（树形DP）

传送门

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解析：

在看完题目三个条件之后，我们得到需要做的事情就是，钦定两个点为特殊点，它们之间的路径为特殊路径，计算向外伸出小于等于$k$个互不相交的分叉的方案数。

$k=1$的情况直接输出答案即可。

现在我们不考虑编号大小，最后方案数$/2$即可。

显然我们需要树形DP。

设我们当前处理到$u$，$c[i]$表示以$u$为根的子树向子树内伸出$i$个互不相交的分叉的方案数。

设$u$的儿子们为$s_1,s_2,s_3...$，则$c$生成函数为$C(x)=\prod _i(1+si{z}_{s_i})$

直接利用分治乘法可以在$O(n{\log }^{2}n)$时间内处理完毕。

所以这部分的答案是$[x^k]C(x)$？并不，我们发现我们可以令一个端点和$u$重合。

考虑所有有$i$个不重合的情况，我们得到答案是$\sum _{i=0}^{k}A(k,i)c[i]$

显然现在我们已经可以处理出选择的两个关键点$u,v$没有祖先后代关系的情况了。

设$f[u]$表示$u$在子树内部伸出$k$个互不相交的分叉的方案数，$sum[u]$表示$u$子树内的所有点$f$值之和。

考虑反着做，所有点对两两配对直接得到$sum[1{]}^2$，然后我们去掉所有不合法的情况，也就是两点重合$f[u{]}^2$，或者两点有祖先后代关系$2\ast f[u]\ast sum[u]$，把不合法的情况减去。

现在我们需要计算两点存在祖先后代关系的方案数。

显然值需要考虑第一个关键点在某个子树中选择，把父亲方向当做另外一棵子树，显然就是上面的多项式$C(x)\cdot \frac{1+(n-si{z}_{u}x)}{1+si{z}_{s_i}x}$，显然我们可以在$O(deg)$时间内处理出对于每一种$siz$的答案，而子树中不同的$siz$最多只有$O(\sqrt{si{z}_u})$种，所以复杂度实际上只有$O(n\sqrt{n})$。

虽然说代码看上去有点长，但是几乎都是板子，没什么细节，主要是不好想。

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代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define re register
#define gc get_char
#define cs const

namespace IO{
	inline char get_char(){
		static cs int Rlen=1<<20|1;
		static char buf[Rlen],*p1,*p2;
		return (p1==p2)&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,Rlen,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;
	}
	
	inline int getint(){
		re char c;
		while(!isdigit(c=gc()));re int num=c^48;
		while(isdigit(c=gc()))num=(num+(num<<2)<<1)+(c^48);
		return num;
	}
}
using namespace IO;

using std::cout;
using std::cerr;

cs int mod=998244353,inv2=(mod+1)/2;
inline int add(int a,int b){return a+b>=mod?a+b-mod:a+b;}
inline void Inc(int &a,int b){(a+=b)>=mod?a-=mod:a;}
inline int dec(int a,int b){return a<b?a-b+mod:a-b;}
inline void Dec(int &a,int b){(a-=b)<0?a+=mod:a;}
inline int mul(int a,int b){return (ll)a*b%mod;}
inline int quickpow(int a,int b,int res=1){
	while(b){
		if(b&1)res=mul(res,a);
		a=mul(a,a);
		b>>=1;
	}
	return res;
}


typedef std::vector<int> Poly;

Poly r;
int invl;
inline void NTT(Poly &A,int len,int typ){
	if(typ==-1)std::reverse(A.begin()+1,A.begin()+len);
	for(int re i=0;i<len;++i)if(i<r[i])std::swap(A[i],A[r[i]]);
	for(int re i=1;i<len;i<<=1){
		int wn=quickpow(3,(mod-1)/i/2);
		for(int re j=0;j<len;j+=i<<1)
		for(int re k=0,x,y,w=1;k<i;++k,w=mul(w,wn)){
			x=A[j+k],y=mul(w,A[j+k+i]);
			A[j+k]=add(x,y);
			A[j+k+i]=dec(x,y);
		}
	}
	if(typ==-1)for(int re i=0;i<len;++i)A[i]=mul(A[i],invl);
}
inline void init_rev(int len){
	if(len==r.size())return ;
	r.resize(len);
	for(int re i=0;i<len;++i)r[i]=r[i>>1]>>1|((i&1)*(len>>1));
	invl=quickpow(len,mod-2);
}

inline Poly operator*(Poly a,Poly b){
	int deg=a.size()+b.size()-1,len=1;
	while(len<deg)len<<=1;
	init_rev(len);
	a.resize(len),NTT(a,len,1);
	b.resize(len),NTT(b,len,1);
	for(int re i=0;i<len;++i)a[i]=mul(a[i],b[i]);
	NTT(a,len,-1),a.resize(deg);
	return a;
}

inline void mul_poly(Poly &a,int b){
	a.push_back(0);
	for(int re i=a.size()-2;~i;--i)Inc(a[i+1],mul(a[i],b));
}

inline void div_poly(Poly &a,int b){
	int inv=quickpow(b,mod-2);
	Poly d=a;
	for(int re i=a.size()-1;i;--i){
		a[i-1]=mul(d[i],inv);
		Dec(d[i-1],a[i-1]);
	}
	a.pop_back();
}

cs int N=1e5+5;

int n,k,ans;

int fac[N],ifac[N],inv[N];
inline void init_inv(){
	fac[0]=ifac[0]=inv[0]=fac[1]=ifac[1]=inv[1]=1;
	for(int re i=2;i<N;++i){
		fac[i]=mul(fac[i-1],i);
		inv[i]=mul(inv[mod%i],mod-mod/i);
		ifac[i]=mul(ifac[i-1],inv[i]);
	}
}
inline int A(int n,int m){return mul(fac[n],ifac[n-m]);}

std::vector<int> G[N];
inline void addedge(int u,int v){
	G[u].push_back(v);
	G[v].push_back(u);
}

int f[N],sum[N],g[N];

int coef[N],cnt;
inline Poly build(int l,int r){
	if(l==r)return Poly({1,coef[l]});
	int mid=(l+r)>>1;
	return build(l,mid)*build(mid+1,r);
}

inline int calc(cs Poly &a){
	int lim=std::min((int)a.size()-1,k),res=0;
	for(int re i=0;i<=lim;++i)Inc(res,mul(A(k,i),a[i]));
	return res;
}

int siz[N];

void dfs(int u,int fa){
	siz[u]=1;
	for(re int v:G[u])if(v!=fa){
		dfs(v,u);
		siz[u]+=siz[v];
		Inc(sum[u],sum[v]);
	}
	cnt=0;
	for(re int v:G[u])if(v!=fa)coef[++cnt]=siz[v];
	if(cnt){
		Poly a=build(1,cnt);
		f[u]=calc(a);
		cnt=0;
		for(re int v:G[u])if(v!=fa)coef[++cnt]=v;
		std::sort(coef+1,coef+cnt+1,[&](cs int &u,cs int &v){return siz[u]<siz[v];});
		mul_poly(a,n-siz[u]);
		for(int re i=1;i<=cnt;++i){
			if(siz[coef[i]]==siz[coef[i-1]])g[coef[i]]=g[coef[i-1]];
			else {
				div_poly(a,siz[coef[i]]);
				g[coef[i]]=calc(a);
				mul_poly(a,siz[coef[i]]);
			}
		}
	}
	else f[u]=1;
	Inc(sum[u],f[u]);
	for(re int v:G[u])if(v!=fa){
		Inc(ans,mul(2,mul(dec(g[v],f[u]),sum[v])));
	}
	Dec(ans,mul(f[u],f[u]));
}

signed main(){
	init_inv();
	n=getint(),k=getint();
	if(k==1)return cout<<((ll)n*(n-1)/2%mod)<<'\n',0;
	for(int re i=1;i<n;++i)addedge(getint(),getint());
	dfs(1,0);
	Inc(ans,mul(sum[1],sum[1]));
	cout<<mul(ans,inv2)<<"\n";
	return 0;
}