【BZOJ5480】路径的条数（DFS序）（线段树维护扫描线）

传送门

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解析：

考虑统计不合法的路径条数。

令$in[u]$表示$dfs$序中，$u$的进入时间戳，$out[u]$表示退出时间戳。

一个方案可以表示为点集的笛卡尔积，由于是无向的，所以我们只考虑$in[u]<in[v]$的路径。

一个限制可以表示为$(a,ka)$的形式，即每条合法路径不能覆盖任何一个$(a,ka)$。

所有限制显然一共只有$O(n\log n)$个，将所有限制全部提出来。

一个限制$(u,v)$的实际影响可以分类讨论。假设$in[u]<in[v]$

1.$u$是$v$的祖先。
则所有一端点在$v$的子树内，另一端点在$u$的子树外或$u$不含$v$的子树内部的路径全部都不合法。

设$u$的儿子中，子树包含$v$的为$t$，则这个限制相当于ban掉了两部分的答案：$$\begin{gathered} [1,in[t]-1]\times [in[v],out[v]] \\ [in[v],out[v]]\times [out[v]+1,n] \end{gathered}$$

2.$u$，$v$之间没有祖先后代关系

则端点分别在$u$,$v$的子树中的路径不合法：

$$[in[u],out[u]]\times [in[v],out[v]]$$

我们发现所有限制可以表示成若干的矩形。

所有不合法的限制就是矩形的并集。

上线段树维护扫描线，计算矩形并集就行了。

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代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define re register
#define gc get_char
#define cs const

namespace IO{
	inline char get_char(){
		static cs int Rlen=1<<20|1;
		static char buf[Rlen],*p1,*p2;
		return (p1==p2)&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,Rlen,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;
	}
	
	inline int getint(){
		re char c;
		while(!isdigit(c=gc()));re int num=c^48;
		while(isdigit(c=gc()))num=(num+(num<<2)<<1)+(c^48);
		return num;
	}
}
using namespace IO;

using std::cout;
using std::cerr;

cs int N=1e5+5,logN=16;

int n;

std::vector<int> edge[N];

int in[N],out[N],tot;
int fa[N][18],dep[N];

void dfs(int u,int f){
	in[u]=++tot;
	for(int re i=0;fa[u][i];++i)fa[u][i+1]=fa[fa[u][i]][i];
	for(int re e=0,v;e<edge[u].size();++e)if((v=edge[u][e])^f)fa[v][0]=u,dep[v]=dep[u]+1,dfs(v,u);
	out[u]=tot;
}

inline bool isanc(int u,int v){
	return in[u]<in[v]&&in[v]<=out[u];
}

inline int jumpto(int u,int v){
	for(int re i=logN;~i;--i)
	if(dep[fa[v][i]]>dep[u])v=fa[v][i];
	return v;
}

struct node{int u,d,val;};
std::vector<node> vec[N];

inline void rectangle(int x_1,int x_2,int y_1,int y_2){
	vec[x_1].push_back((node){y_2,y_1,1});
	vec[x_2+1].push_back((node){y_2,y_1,-1});
}

inline void work(int u,int v){
	if(in[u]>in[v])std::swap(u,v);
	if(isanc(u,v)){
		int son=jumpto(u,v);
		rectangle(1,in[son]-1,in[v],out[v]);
		rectangle(in[v],out[v],out[son]+1,n);
	}
	else {
		rectangle(in[u],out[u],in[v],out[v]);
	}
}

int full[N<<2],sum[N<<2];

inline int get(int k,int l,int r){
	return full[k]?r-l+1:sum[k];
}

inline void modify(int k,int l,int r,cs int &ql,cs int &qr,cs int &val){
	if(ql<=l&&r<=qr){
		full[k]+=val;
		return ;
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	if(ql<=mid)modify(k<<1,l,mid,ql,qr,val);
	if(mid<qr)modify(k<<1|1,mid+1,r,ql,qr,val);
	sum[k]=get(k<<1,l,mid)+get(k<<1|1,mid+1,r);
}

ll ans;

signed main(){
	n=getint();
	for(int re i=1,u,v;i<n;++i){
		u=getint(),v=getint();
		edge[u].push_back(v);
		edge[v].push_back(u); 
	}
	dfs(1,0);
	for(int re i=1;(i<<1)<=n;++i)
	for(int re j=i<<1;j<=n;j+=i)work(i,j);
	ans=(ll)n*(n-1)>>1;
	for(int re i=1;i<n;++i){
		for(int re j=0;j<vec[i].size();++j)modify(1,1,n,vec[i][j].d,vec[i][j].u,vec[i][j].val);
		ans-=get(1,1,n);
	}
	std::cout<<ans<<"\n";
	return 0;
}