2019.01.04【清华集训2013】【BZOJ2962】【洛谷P4247】序列操作（线段树）

BZOJ传送门

洛谷传送门

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解析：

这道题请认真读题啊。。。

所有的询问$c\le 20$啊。。。

不要题没读完就放弃了啊。

思路：

由于时限有6s，所以我们不需要过于关心常数的大小。

由于数据范围只有$5e4$，我们对于常数的要求就不会太严格。

说这么多是为了什么呢？

因为我们可能需要大力维护每个区间的答案。。。

所以我们会有一个时间复杂度$O(n\log n)$，常数MMP 十分巨大的做法。

一个区间的$su{m}_i$表示这个区间中选取$i$个数出来相乘，得到的所有方案的答案之和。

维护两个标记，乘$-1$和加法标记。我们令乘法标记优先于加法标记。

接下来怎么维护两个标记？

区间乘-1：

加法标记*-1，取反标记^1，然后维护了的$sum$中，奇数个的*-1，偶数个的不变。

这一步很显然。

区间加：

这一步需要些许推导，我们考虑原来一个乘积${\prod }_{i=1}^t{a}_i$怎么转变成${\prod }_{i=1}^t(a_i+val)$

直接展开：$$\begin{array}{rl}\prod _{i=1}^t(a_i+val)=& \prod _{i=1}^t{a}_i+\\ & val\sum _{i=1}^t\prod _{1\le j\le t,j̸=i}{a}_j+\\ & va{l}^2\sum _{i=1}^t\sum _{i<j\le t}\prod _k{a}_k+...\end{array}$$

换个思路：
$$su{m}_i=\sum _{j=0}^{i}su{m}_j\ast va{l}^{i-j}\ast C_{len-j}^{i-j}$$

其中$len$表示当前计算区间的长度。$C$是组合数，由于不大，可以预处理。

合并两个区间

这步很好想，$now.su{m}_n={\sum }_{i=0}^{n}lc.su{m}_i\times rc.su{m}_{n-i}$

这步很显然吧，左边选若干个，右边选若干个。

最后，一点点小trick，注意所有的$su{m}_0$需要初始化成1。

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代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define re register
#define gc get_char
#define pc put_char
#define cs const
#define int ll

namespace IO{
    namespace IOONLY{
        cs int Rlen=1<<18|1;
        char buf[Rlen],*p1,*p2;
        char obuf[Rlen],*p3=obuf;
        char ch[23];
    }
    inline char get_char(){
        using namespace IOONLY;
        return (p1==p2)&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,Rlen,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;
    }
    inline void put_char(char c){
        using namespace IOONLY;
        *p3++=c;
        if(p3==obuf+Rlen)fwrite(obuf,1,Rlen,stdout),p3=obuf;
    }
    inline void FLUSH(){
        using namespace IOONLY;
        fwrite(obuf,1,p3-obuf,stdout),p3=obuf;
    }
    
    inline int getint(){
        re int num;
        re char c;
        re bool f=0;
        while(!isdigit(c=gc()))if(c=='-')f=1;num=c^48;
        while(isdigit(c=gc()))num=(num+(num<<2)<<1)+(c^48);
        return f?-num:num;
    }
    inline char getalpha(){
        re char c;
        while(!isalpha(c=gc()));
        return c;
    }
    inline void outint(int a){
        using namespace IOONLY;
        if(!a)return pc('0');
        while(a)ch[++ch[0]]=a-a/10*10,a/=10;
        while(ch[0])pc(ch[ch[0]--]^48);
    }
}
using namespace IO;

inline int min(int a,int b){return a<b?a:b;}

cs int N=50004;
cs ll mod=19940417;
struct node{
    ll sum[21];
    int add,siz;
    bool rev;
    node(){add=siz=rev=0;memset(sum,0,sizeof sum);}
}t[N<<2];

inline void pushup(int k){
    node &now=t[k],&lc=t[k<<1],&rc=t[k<<1|1];
    memset(now.sum,0,sizeof now.sum);
    for(int re i=0;i<=min(lc.siz,20);++i)
    for(int re j=0;j<=min(20-i,rc.siz);++j)
    now.sum[i+j]+=lc.sum[i]*rc.sum[j];
    for(int re i=0;i<=min(20,now.siz);++i)now.sum[i]%=mod;
}

int tmp[21]={1},c[N][21];
inline void pushadd(int k,int val){
    node &now=t[k];
    tmp[0]=1;
    for(int re i=1;i<=min(20,now.siz);++i)tmp[i]=tmp[i-1]*(ll)val%mod;
    for(int re i=min(now.siz,20);i;--i)
    for(int re j=0;j<i;++j)now.sum[i]=(now.sum[i]+1ll*now.sum[j]*tmp[i-j]%mod*c[now.siz-j][i-j])%mod;
    now.add=(val+now.add)%mod;
} 

inline void pushrev(int k){
    node &now=t[k];
    for(int re i=1;i<=min(20,now.siz);i+=2)now.sum[i]=mod-now.sum[i];
    if(now.add)now.add=mod-now.add;
    now.rev^=1;
}

inline void pushdown(int k){
    if(t[k].rev){
        pushrev(k<<1);
        pushrev(k<<1|1);
        t[k].rev=0;
    }
    if(t[k].add){
        pushadd(k<<1,t[k].add);
        pushadd(k<<1|1,t[k].add);
        t[k].add=0;
    }
}

inline void build(int k,int l,int r){
    t[k].siz=r-l+1;
    if(l==r){
        t[k].sum[0]=1;
        t[k].sum[1]=(getint()%mod+mod)%mod;
        return ;
    }
    re int mid=(l+r)>>1;
    build(k<<1,l,mid);
    build(k<<1|1,mid+1,r);
    pushup(k);
}

inline void modifyadd(int k,int l,int r,cs int &ql,cs int &qr,cs int &val){
    if(ql<=l&&r<=qr)return pushadd(k,val);
    pushdown(k);
    int mid=(l+r)>>1;
    if(ql<=mid)modifyadd(k<<1,l,mid,ql,qr,val);
    if(mid<qr)modifyadd(k<<1|1,mid+1,r,ql,qr,val);
    pushup(k);
}

inline void modifyrev(int k,int l,int r,cs int &ql,cs int &qr){
    if(ql<=l&&r<=qr)return pushrev(k);
    pushdown(k);
    int mid=(l+r)>>1;
    if(ql<=mid)modifyrev(k<<1,l,mid,ql,qr);
    if(mid<qr)modifyrev(k<<1|1,mid+1,r,ql,qr);
    pushup(k);
}

inline node merge(cs node &lc,cs node &rc){
    node res;
    res.siz=lc.siz+rc.siz;
    for(int re i=0;i<=min(20,lc.siz);++i)
    for(int re j=0;j<=min(20-i,rc.siz);++j)
    res.sum[i+j]+=lc.sum[i]*rc.sum[j]%mod;
    for(int re i=0;i<=min(res.siz,20);++i)res.sum[i]%=mod;
    return res;
}

inline node query(int k,int l,int r,cs int &ql,cs int &qr){
    if(ql<=l&&r<=qr)return t[k];
    pushdown(k);
    int mid=(l+r)>>1;
    if(qr<=mid)return query(k<<1,l,mid,ql,qr);
    if(ql>mid)return query(k<<1|1,mid+1,r,ql,qr);
    return merge(query(k<<1,l,mid,ql,qr),query(k<<1|1,mid+1,r,ql,qr));
}

int n,q;
signed main(){
    n=getint(),q=getint();
    c[0][0]=1;
    for(int re i=1;i<=n;++i){
        c[i][0]=1;
        for(int re j=1;j<=min(20,i);++j)
        c[i][j]=(c[i-1][j]+c[i-1][j-1])%mod; 
    }
    build(1,1,n);
    while(q--){
        switch(getalpha()){
            case 'I':{
                re int l=getint(),r=getint();
                re int val=(getint()%mod+mod)%mod;
                modifyadd(1,1,n,l,r,val);
                break;
            }
            case 'R':{
                re int l=getint(),r=getint();
                modifyrev(1,1,n,l,r);
                break;
            }
            case 'Q':{
                re int l=getint(),r=getint(),c=getint();
                outint((query(1,1,n,l,r).sum[c]%mod+mod)%mod);pc('\n');
                break;
            }
        }
    }
    FLUSH();
    return 0;
}