【校内模拟】eugene（构造）（消环）

简要题意：

给一张图，每条边有一个权值c∈{1,2}c\in\{1,2\}c∈{1,2}，你需要给每条边确定一个方向，然后入点权值$+c$，出点权值$-c$，你需要使得在操作完之后每个点的权值的绝对值$\le 1$

保证对于每个点，所有与它相连的边的$c$之和为一个奇数。

题解：

首先可以感觉出来不存在无解的情况。

证明的话，考虑如下的构造方式，只需要证明在满足上述条件下一定能够构造合法解即可证明有解，根据排中律。

考虑如下的构造思路：考虑一个环，环上所有边的边权相同，那么我们显然可以直接给这个环上的边全部定向顺时针来把这个环消去。消去一个环显然是不影响点度奇偶性的，所以一定存在一个把这个环消掉的解。

那么对于一条链，我们发现给所有边定成相同的方向不会对中间的点的权值造成任何影响。那么这条链的影响实际上可以等价成一条从链头指向链尾的边。

这样我们可以不断消去等权边组成的环和链，最后每个点一定只会留下最多一条权为$1$的边，最多一条权为$2$的边。

我们发现$+1-2=-1$，$-1+2=1$，直接交错染色即可。

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代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define re register
#define cs const

namespace IO{
	inline char gc(){
		static cs int Rlen=1<<22|1;
		static char buf[Rlen],*p1,*p2;
		return (p1==p2)&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,Rlen,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;
	}
	
	template<typename T>
	inline T get(){
		char c;T num;
		while(!isdigit(c=gc()));num=c^48;
		while(isdigit(c=gc()))num=(num+(num<<2)<<1)+(c^48);
		return num;
	}
	inline int gi(){return get<int>();}
}
using namespace IO;

using std::cerr;
using std::cout;

cs int N=1e6+7,M=N<<1|1;

int n,m,tot;
int dpd[M],rev[M],ans[M];
struct edge{int to,id,d;}e[2][N];
inline void adde(edge *e,int u,int v,int id){
	if(e[u].id&&e[u].to==v){
		dpd[e[u].id]=dpd[id]=0;
		ans[e[u].id]=e[v].d;
		e[u].id=e[v].id=0;
		ans[id]=1;
		return ;
	}
	bool ok=true;
	if(e[u].id){
		ok=false;
		dpd[e[u].id]=tot+1;
		rev[e[u].id]=e[u].d;
		e[u].id=0;
		u=e[u].to;
	}
	if(e[v].id){
		ok=false;
		dpd[e[v].id]=tot+1;
		rev[e[v].id]=e[v].d^1;
		e[v].id=0;
		v=e[v].to;
	}
	e[u].to=v,e[u].d=1;e[v].to=u,e[v].d=0;
	if(ok)e[u].id=e[v].id=id;
	else dpd[id]=e[u].id=e[v].id=++tot;
}

int sol[N];
inline void work(int x){
	int t=0;int u=x,v;sol[u]=true;
	while(e[t][u].id){
		ans[e[t][u].id]=e[t][u].d;
		if(sol[v=e[t][u].to])return ;
		sol[v]=true,u=v,t^=1;
	}
	u=x,t=1;
	while(e[t][u].id){
		ans[e[t][u].id]=e[t][u].d^1;
		sol[u=e[t][u].to]=true,t^=1;
	}
}

signed main(){
	n=gi(),m=gi(),tot=m;
	for(int re i=1;i<=m;++i){
		int a=gi(),b=gi(),c=gi();
		adde(e[c-1],a,b,i);
	}
	for(int re i=0;i<n;++i)if(!sol[i])work(i);
	for(int re i=tot;i;--i)if(dpd[i])ans[i]=ans[dpd[i]]^rev[i];
	for(int re i=1;i<=m;++i)putchar(48^ans[i]);
	return 0;
}