【ZJOI2019】开关（FWT）（背包DP）

传送门

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这道题目前知道的推导原理本质不同做法有两种，另一种是生成函数：here

题解：

设$p_i$表示在单次操作中选择了第$i$个开关的概率，设$U$表示所有开关的$2^n$种不同状态的集合，设集合幂级数$F(x)={\sum }_{T\subseteq U}{f}_T{x}^T$，其中$f_T$表示$s_i=[i\in T]$状态下打开门需要的期望步数。

对于$T!=\varnothing$，显然有$f_T=1+\sum _{i=1}^n{p}_i{f}_{T\oplus i}$
对于$T=\varnothing$，显然有$f_{\varnothing }=0$

发现转移是一个异或卷积，考虑构造$G(x)={\sum }_i{p}_i{x}^i$，那么式子写出来就是$$F=\sum _{T\subseteq U}{x}^T+F\cdot G+c{x}^{\varnothing }$$

这里$c$是一个修正用的常数。

解异或卷积方程一般的通用方法就是FWT过去再IFWT回来。

先把式子写成$F(1-G)={\sum }_{T\subseteq U}{x}^T+c{x}^{\varnothing }$，然后FWT，设$F$进行FWT后得到$\hat{F}$，其各项系数为$\hat{f}$，$G$同理。

考虑FWT后的形式，我们得到：

$${\hat{f}}_S(1-{\hat{g}}_S)=\sum _T(-1{)}^{|T\cap S|}+c$$

令$S=\varnothing$，显然有$g_S=\sum p_i=1$，则得到$c=-2^n$

令$s!=\varnothing$，得到${\hat{f}}_S=\frac{c}{1-{\hat{g}}_s}$

再IFWT回去得到：

$$f_S=\frac{1}{2^n}\sum _T(-1{)}^{|T\cap S|}{\hat{f}}_T=\frac{{\hat{f}}_{\varnothing }}{2^n}-\sum _{T\ne \varnothing }(-1{)}^{|T\cap S|}\frac{1}{1-{\hat{g}}_T}$$

令$S=\varnothing$，由于$f_{\varnothing }=0$，得到$\frac{{\hat{f}}_{\varnothing }}{2^n}={\sum }_{T\ne \varnothing }\frac{1}{1-{\hat{g}}_T}$

则答案就是：$$\begin{gathered} f_S=\sum _{T\ne \varnothing }(1-(-1{)}^{|T\cap S|})\frac{1}{1-{\hat{g}}_T} \\ =\sum _{T\ne \varnothing }[|T\cap S|\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2)]\frac{2}{1-{\hat{g}}_T} \\ =\sum _{T\ne \varnothing }[|T\cap S|\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2)]\frac{2}{1-\sum _{i\notin T}{p}_i+\sum _{i\in T}{p}_i} \\ =\sum _{T\ne \varnothing }[|T\cap S|\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2)]\frac{1}{\sum _{i\in T}{p}_i} \end{gathered}$$

发现$\sum p$不是很大，直接背包即可，同时记录一维表示交的奇偶性最后直接算答案。

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代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define re register
#define cs const

using std::cerr;
using std::cout;

cs int mod=998244353;
inline int add(int a,int b){a+=b-mod;return a+(a>>31&mod);}
inline int dec(int a,int b){a-=b;return a+(a>>31&mod);}
inline int mul(int a,int b){ll r=(ll)a*b;return r>=mod?r%mod:r;}
inline void Inc(int &a,int b){a+=b-mod;a+=a>>31&mod;}
inline void Dec(int &a,int b){a-=b;a+=a>>31&mod;}
inline void Mul(int &a,int b){a=mul(a,b);}

cs int N=1e2+7,M=5e4+7;

int n;
int inv[M];
int s[N],p[N],a[M],b[M],P;

signed main(){
#ifdef zxyoi
	freopen("button.in","r",stdin);
#endif
	scanf("%d",&n);a[0]=1;
	for(int re i=1;i<=n;++i)scanf("%d",s+i);
	for(int re i=1;i<=n;++i)scanf("%d",p+i);
	for(int re i=1;i<=n;++i){
		int *a1=s[i]?b:a,*b1=s[i]?a:b,p=::p[i];
		for(int re j=P;~j;--j)
		Inc(a1[j+p],a[j]),Inc(b1[j+p],b[j]);
		P+=p; 
	}
	int ans=b[1];inv[1]=1;
	for(int re i=2;i<=P;++i){
		inv[i]=mul(mod-mod/i,inv[mod%i]);
		Inc(ans,mul(b[i],inv[i]));
	}
	cout<<mul(ans,P)<<"\n";
	return 0;
}