16、分布式线性二次控制：离散时间系统的半稳定LQR控制框架

分布式线性二次控制：离散时间系统的半稳定LQR控制框架

1. 引言

近年来，网络控制与基于网络的控制备受关注。涉及多智能体分布式决策协调的网络系统，可通过协同控制提高运行效率。许多动态网络的协同控制算法下，闭环动态存在连续的平衡点，代表期望的收敛状态。在这种情况下，系统的期望极限状态不仅取决于系统动态，还与初始状态有关。此时，半稳定性而非渐近稳定性才是合适的稳定性概念。

半稳定性指的是，从由Lyapunov稳定平衡点构成的流形邻域出发的每条轨迹，都会收敛到该流形上的另一个Lyapunov稳定平衡点。尽管过去几年已经开发了许多网络协调算法，但这些算法的LQR型最优性特性在很大程度上被忽视了。这里的LQR型最优性是指在稳定性和网络连通性约束下，使协调算法的LQR型二次成本泛函最小化。该成本泛函的物理意义是算法收敛速度与闭环系统控制努力之间的权衡。

需要注意的是，这种最优性虽然与标准LQR问题相近，但存在一些差异。标准LQR的闭环系统是渐近稳定的，平衡点是固定的原点；而半稳定LQR的平衡点是初始条件的函数，并非先验固定。此外，本文提出的控制问题与其他相关研究也有所不同。接下来，我们将探讨离散时间线性动态系统的分布式半稳定LQR控制框架。

2. 问题描述

考虑$q$个离散时间线性系统$G_j$，$i = 1, 2, \cdots, q$，其状态方程为：
[
\begin{cases}
x_j(k + 1) = A_jx_j(k) + B_ju_j(k) \
x_j(0) = x_{i0}, k \in \overline{\mathbb{Z}}^+
\end{cases}
]