16、分布式半稳定LQR控制：理论与应用

分布式半稳定LQR控制：理论与应用

1. 引言

近年来，网络控制和基于网络的控制受到了广泛关注。涉及多智能体分布式决策的网络系统，可通过协同控制提高运行效率。在许多动态网络的协同控制算法下，闭环动态的一个独特特征是存在代表期望收敛状态的连续平衡点。在这种动态下，期望的极限状态不仅取决于系统动态，还与系统的初始状态有关。在这类网络系统中，半稳定性而非渐近稳定性是相关的稳定性概念。

半稳定性大致是指，从由李雅普诺夫稳定平衡点组成的流形邻域出发的每条轨迹，都会收敛到该流形上的另一个李雅普诺夫稳定平衡点。尽管过去几年已经开发了许多网络协调算法，但这些算法的LQR型最优性特性在很大程度上被忽视了。这里的LQR型最优性是指在稳定性和网络连通性约束下，使协调算法的LQR型二次成本泛函最小化。该成本泛函的物理意义是算法收敛速度与闭环系统控制努力之间的权衡。

需要注意的是，这种最优性虽然与标准LQR问题相近，但存在一些差异。标准LQR中，闭环系统是渐近稳定的，平衡点是固定的原点；而在半稳定LQR中，平衡点是初始条件的函数，并非预先固定。此外，所提出的控制问题也与其他相关问题不同。

2. 问题描述

考虑 $q$ 个离散时间线性系统 $G_j$，$i = 1, 2, \ldots, q$，其表达式为：
[
\begin{cases}
x_j(k + 1) = A_jx_j(k) + B_ju_j(k) \
x_j(0) = x_{i0}, \quad k \in \overline{\mathbb{Z}}^+
\end{cases}
]
其中，对于每个 $k \in \overline{\