数学优化与算法问题解析-优快云博客

21、给出一个定理（定理内容为：在一定条件下，牛顿优化法能在一次迭代后收敛到临界点）证明不适用的例子。（提示：Hessian矩阵的逆矩阵总是存在的吗？）

当Hessian矩阵 $ H_f(x_0) $ 不可逆时，该定理的证明不适用。例如，若 $ f(x) $ 为二次函数，但 Hessian 矩阵 $ A $ 的行列式为 0，此时 $ A $ 不可逆，牛顿优化法不一定能在一次迭代后收敛到临界点。

22、优化的牛顿法需要求海森矩阵的逆。考虑一个二元函数f(x, y)。就二阶偏导数（fxx、fyy、fxy和/或fyx）而言，海森矩阵在什么条件下不可逆？

海森矩阵不可逆的条件是其行列式为零。

对于二元函数 $ f(x, y) $，海森矩阵 $ H_f $ 为
$$
\begin{bmatrix}
f_{xx} & f_{xy} \
f_{yx} & f_{yy}
\end{bmatrix}
$$

其行列式 $ D = f_{xx} \cdot f_{yy} - (f_{xy})^2 $。

当 $ D = 0 $ 时，海森矩阵不可逆。

23、对于任意一个图，哪种顶点着色方案会产生最多的紫色边？

这是一个尚未解决的“最大割”问题，已知该问题是 NP 难问题，目前没有确切答案。一种解决思路是为每个顶点引入决策变量，通过最大化一个 $ m $ 项函数来尝试解答。

24、a) 两个正数a和b的调和平均数定义为2ab/(a + b)。证明两个正数a和b的调和平均数小于或等于几何平均数，当且仅当a = b时等号成立。b) 两个正数a和b的均方根定义为√((a² + b²)/2)（这也被称为a和b的二次平均数）。证明两个正数a和b的均方根大于或等于算术平均数，当且仅当a = b时等号成立。c) 写出一个包含本题中提到的四种平均数的总结性陈述及必要条件。

a) 首先，两个正数 $ a $ 和 $ b $ 的几何平均数为 $ \sqrt{ab} $，调和平均数为 $ \frac{2ab}{a + b} $。要证明
$$
\frac{2ab}{a + b} \leq \sqrt{ab}
$$
因为 $ a, b $ 为正数，两边同时除以 $ \sqrt{ab} $，得到
$$
\frac{2\sqrt{ab}}{a + b} \leq 1
$$
即
$$
2\sqrt{ab} \leq a + b
$$
由算术-几何平均不等式（AGM）可知，对于正数 $ a, b $，
$$
\sqrt{ab} \leq \frac{a + b}{2}
$$
即
$$
2\sqrt{ab} \leq a + b
$$
当且仅当 $ a = b $ 时等号成立，所以调和平均数小于或等于几何平均数，当且仅当 $ a = b $ 时等号成立。

b) 两个正数 $ a $ 和 $ b $ 的算术平均数为 $ \frac{a + b}{2} $，均方根为 $ \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}} $。要证明
$$
\sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}} \geq \frac{a + b}{2}
$$
两边同时平方，得到
$$
\frac{a^2 + b^2}{2} \geq \frac{(a + b)^2}{4}
$$
展开右边式子得
$$
\frac{a^2 + b^2}{2} \geq \frac{a^2 + 2ab + b^2}{4}
$$
两边同乘 4 得
$$
2(a^2 + b^2) \geq a^2 + 2ab + b^2
$$
移项化简得
$$
a^2 - 2ab + b^2 \geq 0
$$
即
$$
(a - b)^2 \geq 0
$$
当且仅当 $ a = b $ 时等号成立，所以均方根大于或等于算术平均数，当且仅当 $ a = b $ 时等号成立。

c) 对于两个正数 $ a $ 和 $ b $，调和平均数 $ H = \frac{2ab}{a + b} $、几何平均数 $ G = \sqrt{ab} $、算术平均数 $ A = \frac{a + b}{2} $、均方根 $ Q = \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}} $ 满足
$$
H \leq G \leq A \leq Q
$$
当且仅当 $ a = b $ 时，四个平均数相等。

25、证明：如果一个集合S是锥集，那么S也是凸集。

设 $ S $ 是一个锥集。对于 $ S $ 中的任意元素集合 $ s_1, s_2, …, s_k $，以及任意满足
$$
\sum_{i=1}^k \alpha_i = 1 \quad \text{且} \quad \alpha_i \geq 0 \quad (i = 1, 2, …, k)
$$
的实数集合 $ \alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_k $，

因为 $ S $ 是锥集，对于任意非负实数 $ \beta $ 和 $ S $ 中的元素 $ s $，有
$$
\beta s \in S
$$

对于
$$
\sum_{i=1}^k \alpha_i s_i
$$
由于 $ \alpha_i \geq 0 $，可将其看作是 $ S $ 中元素的锥组合。

又因为
$$
\sum_{i=1}^k \alpha_i = 1
$$
所以这个锥组合同时也是一个凸组合，且该凸组合的结果仍在 $ S $ 中。

因此，集合 $ S $ 也是凸集。