本文介绍了极限存在的两个重要准则及两个基本极限。准则包括数列夹逼原理和单调有界原理，以及柯西收敛准则。重要极限涉及正弦函数和自然指数函数的基本极限形式。
第六节 极限存在准则 两个重要极限
两个重要的极限
（1）limx→0sin(x)x=1\lim\limits_{x \to 0}{\dfrac{\sin(x)}{x}} = 1x→0limxsin(x)=1
（2）limx→∞(1+1x)x=e\lim\limits_{x \to \infty}{(1+\dfrac{1}{x})^x} = ex→∞lim(1+x1)x=e
准则 111 如果数列{xn}\{x_n\}{xn}，{yn}\{y_n\}{yn} 及 {zn}\{z_n\}{zn} 满足下列条件：
（1）从某项起，即 ∃n0∈N+\exists n_0 \in \mathbb{N_+}∃n0∈N+，当 n>n0n > n_0n>n0，有 yn≤xn≤zny_n \leq x_n \leq z_nyn≤xn≤zn；
（2）limn→∞yn=a，limn→∞zn=a\lim\limits_{n \to \infty}{y_n} = a，\lim\limits_{n \to \infty}{z_n} = an→∞limyn=a，n→∞limzn=a，
那么数列 {xn}\{x_n\}{xn} 的极限存在，且limn→∞xn=a.\lim\limits_{n \to \infty}{x_n} = a .n→∞limxn=a.
准则 1′1'1′ 如果
（1）当 x∈U˚(x0,r)x \in \mathring{U}(x_0, r)x∈U˚(x0,r) （或∣x∣>M|x| > M∣x∣>M）时，g(x)≤f(x)≤h(x)g(x) \leq f(x) \leq h(x)g(x)≤f(x)≤h(x)；
（2）limx→x0(x→∞)g(x)=A，limx→x0(x→∞)h(x)=A\lim\limits_{x \to x_0 \atop (x \to \infty)}{g(x)} = A，\lim\limits_{x \to x_0 \atop (x \to \infty)}{h(x)} = A(x→∞)x→x0limg(x)=A，(x→∞)x→x0limh(x)=A，
那么 limx→x0(x→∞)f(x)\lim\limits_{x \to x_0 \atop (x \to \infty)}{f(x)}(x→∞)x→x0limf(x) 存在，且等于 AAA.
准则 2 单调有界数列必有极限.
如果数列 {xn}\{x_n\}{xn} 满足条件 x1≤x2≤x3≤⋯≤xn≤xn+1≤⋯x_1 \leq x_2 \leq x_3 \leq \cdots \leq x_n \leq x_{n+1} \leq \cdotsx1≤x2≤x3≤⋯≤xn≤xn+1≤⋯，就称数列 {xn}\{x_n\}{xn} 是单调增加的；
如果数列 {xn}\{x_n\}{xn} 满足条件 x1≥x2≥x3≥⋯≥xn≥xn+1≥⋯x_1 \geq x_2 \geq x_3 \geq \cdots \geq x_n \geq x_{n+1} \geq \cdotsx1≥x2≥x3≥⋯≥xn≥xn+1≥⋯，就称数列 {xn}\{x_n\}{xn} 是单调减少的.
如果数列不仅有界，并且是单调的，那么这数列的极限必定存在，也就是这数列一定收敛.
准则 2’ 设函数 f(x)f(x)f(x) 在点 x0x_0x0 的某个左邻域内单调并且有界，则 f(x)f(x)f(x) 在 x0x_0x0 的左极限 f(x0−)f(x_0^-)f(x0−) 必定存在.
柯西极限存在准则 数列 {xn}\{x_n\}{xn} 收敛点充分必要条件是：对于任意给定的正数 ε\varepsilonε，存在正整数 NNN，使得当 m>N，n>Nm > N，n > Nm>N，n>N 时，有
∣xn−xm∣<ε.|x_n -x_m| < \varepsilon .∣xn−xm∣<ε.
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