高数笔记-第一章 函数与极限-5

第五节 极限运算法则

定理 1 两个无穷小的和是无穷小.
推论 有限个无穷小之和也是无穷小.

定理 2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
推论 1 常数与无穷小的乘积是无穷小.
推论 2 有限个无穷小的乘积是无穷小.

定理 3 如果$\lim f(x)=A,\lim g(x)=B$，那么
（1）$\lim [f(x)\pm g(x)]=\lim f(x)\pm \lim g(x)=A\pm B$；
（2）$\lim [f(x)\cdot g(x)]=\lim f(x)\cdot \lim g(x)=A\cdot B$；
（3）若又有$B\ne 0$，则有
$$\lim \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim f(x)}{\lim g(x)}=\frac{A}{B}.$$

推论 1 如果$\lim f(x)$ 存在，而 $c$ 为常数，那么$\lim [cf(x)]=c\lim f(x)$.
推论 2 如果 $\lim f(x)$ 存在，而 $n$ 是正整数，那么 $\lim [f(x){]}^n=[\lim f(x){]}^n$.

定理 4 设有数列 {xn}\{x_n\}{xn​} 和 {yn}\{y_n\}{yn​}. 如果 $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=A$，$\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n=B$，那么
（1）$\underset{n\to \infty }{\lim }(x_n\pm y_n)=A\pm B$；
（2）$\underset{n\to \infty }{\lim }(x_n\cdot y_n)=A\cdot B$；
（3）当 $y_n\ne 0(n=1,2,\cdots )$ 且 $B\ne 0$ 时，$\lim \frac{x_n}{y_n}=\frac{A}{B}$.

定理 5 如果 $\phi (x)\ge \Psi (x)$，而 $\lim \phi (x)=A，\lim \Psi (x)=B，那么A\ge B$.

定理 6 （复合函数的极限运算法则）设函数 $y=f[g(x)]$ 是由函数 $u=g(x)$ 与函数 $y=f(u)$ 复合而成，$f[g(x)]$ 在点 $x_0$ 点某去心邻域内有定义，若 $\lim x\to x_{0}g(x)=u_0$，$\underset{u\to u_0}{\lim }f(u)=A$，且存在 $\delta >0$，当 $x\in \mathring{U}(x_0,{\delta }_0)$，有 $g(x)\ne u_0$，则
$$\underset{x\to x_0}{\lim }f[g(x)]=\underset{u\to u_0}{\lim }f(u)=A.$$