本文介绍了无穷小的比较方法，包括高阶、低阶、同阶及等价无穷小的概念，并给出了相应的定理证明。通过实例展示了如何利用这些概念解决具体的极限问题。
第七节 无穷小的比较
定义
（1）如果 limβα=0\lim\limits{\dfrac {\beta}{\alpha}} = 0limαβ=0，那么就说 β\betaβ 是比 α\alphaα 高阶的无穷小，记作 β=o(α)\beta = o(\alpha)β=o(α)；
（2）如果 limβα=∞\lim \dfrac{\beta}{\alpha} = \inftylimαβ=∞，那么就说 β\betaβ 是比 α\alphaα 低阶的无穷小；
（3）如果 limβα=c≠0\lim \dfrac{\beta}{\alpha} = c \neq 0limαβ=c=0，那么就说 β\betaβ 与 α\alphaα 是同阶无穷小；
（4）如果 limβαk=c≠0\lim \dfrac{\beta}{\alpha ^k} = c \neq 0limαkβ=c=0，那么就说 β\betaβ 是关于 α\alphaα 的 kkk 阶无穷小；
（5）如果 limβα=1\lim \dfrac{\beta}{\alpha} = 1limαβ=1，那么就说 β\betaβ 与 α\alphaα 是等价无穷小，记作 α∼β\alpha \sim \betaα∼β.
定理 1 β\quad\betaβ 与 α\alphaα 是等价无穷小的充分必要条件是
β=α+o(α).\beta = \alpha + o(\alpha).β=α+o(α).
定理 2 α∼α~，β∼β~，\quad \alpha \sim \tilde{\alpha}，\beta \sim \tilde{\beta}，α∼α~，β∼β~， 且 limβ~α~\lim\dfrac {\tilde{\beta}}{\tilde{\alpha}}limα~β~ 存在，则
limβα=limβ~α~.\lim \dfrac{\beta}{\alpha} = \lim \dfrac{\tilde{\beta}}{\tilde{\alpha}}.limαβ=limα~β~.
例子
（1）求 limx→0tan2xsin5x\quad\lim\limits_{x \to 0}{\dfrac{\tan2x}{\sin5x}}x→0limsin5xtan2x.
（2）求 limx→0(1+x2)13−1cosx−1.\quad\lim\limits_{x \to 0}{\dfrac{(1+x^2)^{\frac{1}{3}} - 1}{\cos x - 1}}.x→0limcosx−1(1+x2)31−1.
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