高数笔记-第一章 函数与极限-3

第三节 函数的极限

函数极限的定义

1 . 自变量趋于有限值时函数的极限

定义 1 设函数$f(x)$在点$x_0$的某一去心邻域内有定义. 如果存在常数$A$，对于任意给定的正数$\epsilon$,总存在正数$\delta$,使得当$x$满足不等式$0<|x-x_0|<\delta$ 时，对应的函数值$f(x)$都满足不等式$$|f(x)-A|<\epsilon$$，那么常数$A$就叫做函数$f(x)$当$x\to x_0$时的极限，记作$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A$ 或 $f(x)\to A$（当$x\to x_0$）.

左极限
在$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A$ 的定义中，把$0<|x-x_0|<\delta$ 改为$x_0-\delta <x<x_0$，那么$A$就叫做函数$f(x)$当$x\to x_0$时的左极限，记作
$$\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)=A或f(x_0^{-})=A.$$

右极限
在$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A$ 的定义中，把$0<|x-x_0|<\delta$ 改为$x_0<x<x_0+\delta$，那么$A$就叫做函数$f(x)$当$x\to x_0$时的左极限，记作
$$\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)=A或f(x_0^{+})=A.$$

左极限和右极限统称为单侧极限.

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2 . 自变量趋于无穷大时函数的极限

定义 2 设函数$f(x)$当$|x|$大于某一正数时有定义.如果存在常数$A$，对于任意给定的正数 $\epsilon$ （不论它多么小），总存在正数 $X$，使得当 $x$ 满足不等式 $|x|>X$ 时，对应的函数值 $f(x)$都满足不等式$$|f(x)-A|<\epsilon$$，
那么常数$A$就叫做函数$f(x)$当 $x\to \infty$ 时的极限，记作
$$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=A或f(x)\to A（当x\to \infty ）.$$

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函数极限的性质

定理 1（函数极限的唯一性） 如果$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$存在，那么这极限唯一.

定理 2 （函数极限的局部有界性） 如果$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A$，那么存在常数 $M>0$ 和 $\delta >0$，使得当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时，有 $|f(x)|\le M$.

定理 3 （函数极限的局部保号性） 如果 $$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A$$，且 $A>0$ 或（$A<0$），那么存在常数 $\delta >0$，使得当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时，有 $f(x)>0$ （或 $f(x)<0$）.

定理 3’ 如果$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A（A\ne 0）$, 那么就存在着 $x_0$的某一去心邻域 $\mathring{U}(x_0)$，当$x\in \mathring{U}(x_0)$时，就有 $|f(x)|>\frac{|A|}{2}$.

推论 如果在$x_0$的某去心邻域内$f(x)\ge 0$ （或 $f(x)\le 0$）,而且$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A$，那么 $A\ge 0$ （或$A\le 0$）.

定理 4（函数极限与数列极限的关系） 如果极限$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$存在，{$x_n$}为函数$f(x)$ 的定义域内任一收敛于$x_0$的数列，且满足：$x_n\ne x_0（n\in N_{+}）$，那么相应的函数值数列{f(xn)}\{f(x_n)\}{f(xn​)}必收敛，且$\underset{n\to \infty }{\lim }f(x_n)=\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$.