第八节 函数的连续性与间断点
定义 设函数 y=f(x)y = f(x)y=f(x) 在点 x0x_0x0 的某一邻域内有定义,如果 limΔx→0Δy=limΔx→0[f(x0+Δx)−f(x0)]=0\lim\limits_{\Delta x \to 0}{\Delta y} = \lim\limits_{\Delta x \to 0}{[f(x_0 + \Delta x) -f(x_0)]} = 0Δx→0limΔy=Δx→0lim[f(x0+Δx)−f(x0)]=0,那么就称函数 y=f(x)y = f(x)y=f(x) 在点 x0x_0x0 处连续.
函数连续的另一种描述
设函数 y=f(x)y = f(x)y=f(x) 在点 x0x_0x0 的某一邻域内有定义,如果 limx→x0f(x)=f(x0)\lim\limits_{x \to x_0}{f(x) = f(x_0)}x→x0limf(x)=f(x0),那么就称函数 f(x)f(x)f(x) 在点 x0x_0x0 连续.
证明
y=xy = \sqrt{x}y=x 在区间 (−∞,+∞)(-\infty, +\infty)(−∞,+∞) 内是连续的.
y=sin(x)y = \sin(x)y=sin(x) 在区间 (−∞,+∞)(-\infty, +\infty)(−∞,+∞) 内是连续的.
y=cos(x)y = \cos(x)y=cos(x) 在区间 (−∞,+∞)(-\infty, +\infty)(−∞,+∞) 内是连续的.
函数的间断点
(1)函数在 x=x0x = x_0x=x0 没有定义;
(2)虽在 x=x0x = x_0x=x0 有定义,但 limx→x0f(x)\lim\limits_{x \to x_0}{f(x)}x→x0limf(x) 不存在;
(3)虽在 x=x0x = x_0x=x0 有定义,且 limx→x0f(x)\lim\limits_{x \to x_0}{f(x)}x→x0limf(x) 存在,但 limx→x0f(x)≠f(x0)\lim\limits_{x \to x_0}{f(x) \neq f(x_0)}x→x0limf(x)=f(x0);
函数间断点的类型
(1)无穷间断点
(2)振荡间断点
(3)可去间断点
(4)跳跃间断点
第一类间断点
如果 x0x_0x0 是函数 f(x)f(x)f(x) 的间断点,但左极限 f(xo−)f(x_o^-)f(xo−) 和右极限 f(x0+)f(x_0^+)f(x0+) 都存在,那么 x0x_0x0 称为函数 f(x)f(x)f(x) 的第一类间断点.
第二类间断点
不是第一类间断点点任何间断点,称为第二类间断点.
本文详细探讨了函数的连续性定义,通过实例证明了y=x√和三角函数在实数域的连续性,并介绍了函数间断点的分类,包括无穷间断点、振荡间断点和可去间断点。深入理解了第一类和第二类间断点的概念。
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