高数笔记-第一章 函数与极限-8

第八节 函数的连续性与间断点

定义 设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的某一邻域内有定义，如果 $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\Delta y=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }[f(x_0+\Delta x)-f(x_0)]=0$，那么就称函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续.

函数连续的另一种描述
设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的某一邻域内有定义，如果 $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)$，那么就称函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 连续.

证明
$y=\sqrt{x}$ 在区间 $(-\infty ,+\infty )$ 内是连续的.
$y=\sin (x)$ 在区间 $(-\infty ,+\infty )$ 内是连续的.
$y=\cos (x)$ 在区间 $(-\infty ,+\infty )$ 内是连续的.

函数的间断点
（1）函数在 $x=x_0$ 没有定义；
（2）虽在 $x=x_0$ 有定义，但 $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$ 不存在；
（3）虽在 $x=x_0$ 有定义，且 $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$ 存在，但 $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)\ne f(x_0)$；

函数间断点的类型
（1）无穷间断点
（2）振荡间断点
（3）可去间断点
（4）跳跃间断点

第一类间断点
如果 $x_0$ 是函数 $f(x)$ 的间断点，但左极限 $f(x_o^{-})$ 和右极限 $f(x_0^{+})$ 都存在，那么 $x_0$ 称为函数 $f(x)$ 的第一类间断点.

第二类间断点
不是第一类间断点点任何间断点，称为第二类间断点.