高数笔记-第一章函数与极限-9_设f(x)和g(x)在[0,+∞]上非负,g(x)单调递减趋于0-优快云博客

本文探讨了连续函数的和、差、积、商的连续性，包括定理1中的和差积商法则，并深入解析了反函数和复合函数的连续性，如定理2的反函数单调性与连续性以及定理3和4的复合函数连续条件。此外，还介绍了初等函数在定义域内的连续特性，以及常用的等价无穷小关系式。

第九节连续函数的运算与初等函数的连续性

连续函数的和、差、积、商的连续性

定理 1 设函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 在点 $x_0$ 连续，则它们的和（差） $f±gf\pm g$ 、积 $f⋅gf\cdot g$ 及商 $fg\dfrac {f}{g}$ （当 $g(x0)≠0g(x_0) \neq 0$ 时）都在点 $x_0$ 连续.

反函数的连续性

定理 2 如果函数 $y = f (x)$ 在区间 $I_x$ 上单调增加（或单调减少）且连续，那么它的反函数 $x = f^{-1}(y)$ 也在对应的区间 $y=f(x),x∈Ix}I_y = \{y \ |\ y= f(x), x \in I_x\}$ 上单调增加（或单调减少）且连续.

复合函数的连续性
定理 3 设函数 $y = f [g (x)]$ 由函数 $u = g (x)$ 与函数 $y = f (u)$ 复合而成， $U˚(x0)⊂Df∘g\mathring{U}(x_0) \subset D_{f \circ g}$ . 若 $lim⁡x→x0g(x)=u0\lim\limits_{x \to x_0}{g(x)} = u_0$ ，而函数 $y = f (u)$ 在 $u = u_0$ 连续，则
$]=lim⁡x→x0f(u0).\lim\limits_{x \to x_0}{f[\ g(x)\ ]} = \lim\limits_{x \to x_0}{f(u_0)}.$

定理 4 设函数 $f[\ g(x)\ ]$ 是由函数 $u = g (x)$ 与函数 $y = f (u)$ 复合而成， $U(x0)⊂Df∘gU(x_0) \subset D_{f\circ g}$ . 若函数 $u = g (x)$ 在 $x = x_0$ 连续，且 $g(x_0) = u_0$ ，而函数 $y = f (u)$ 在 $u = u_0$ 连续，则复合函数 $f[\ g(x)\ ]$ 在 $x = x_0$ 也连续.

初等函数的连续性

一切初等函数在其定义区间内都是连续的.

常用的等价无穷小关系式
$ln⁡(1+x)∼x(x→0)\ln(1+x) \sim x \quad (x \to 0)$ .
$ex−1∼x(x→0)e^x -1 \sim x \quad (x \to 0)$ .
$(1+x)α−1∼αx(x→0)(1+x)^\alpha -1 \sim \alpha x \quad (x \to 0)$ .