高数笔记-第一章 函数与极限-9

第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性

---

连续函数的和、差、积、商的连续性

定理 1 设函数$f(x)$ 和 $g(x)$ 在点 $x_0$ 连续，则它们的和（差）$f\pm g$、积 $f\cdot g$ 及商 $\frac{f}{g}$ （当 $g(x_0)\ne 0$时）都在点 $x_0$连续.

---

反函数的连续性

定理 2 如果函数 $y=f(x)$ 在区间 $I_x$ 上单调增加（或单调减少）且连续，那么它的反函数 $x=f^{-1}(y)$ 也在对应的区间 Iy={y ∣ y=f(x),x∈Ix}I_y = \{y \ |\ y= f(x), x \in I_x\}Iy​={y ∣ y=f(x),x∈Ix​} 上单调增加（或单调减少）且连续.

---

复合函数的连续性
定理 3 设函数 $y=f[g(x)]$ 由函数 $u=g(x)$ 与函数 $y=f(u)$ 复合而成， $\mathring{U}(x_0)\subset D_{f\circ g}$. 若 $\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=u_0$，而函数 $y=f(u)$ 在 $u=u_0$ 连续，则
$$\underset{x\to x_0}{\lim }f[g(x)]=\underset{x\to x_0}{\lim }f(u_0).$$

定理 4 设函数 $y=f[g(x)]$ 是由函数 $u=g(x)$与函数 $y=f(u)$ 复合而成， $U(x_0)\subset D_{f\circ g}$. 若函数 $u=g(x)$ 在 $x=x_0$ 连续，且 $g(x_0)=u_0$，而函数 $y=f(u)$ 在 $u=u_0$ 连续，则复合函数 $y=f[g(x)]$ 在 $x=x_0$ 也连续.

---

初等函数的连续性

一切初等函数在其定义区间内都是连续的.

常用的等价无穷小关系式
$\ln (1+x)\sim x(x\to 0)$.
$e^x-1\sim x(x\to 0)$.
$(1+x{)}^{\alpha }-1\sim \alpha x(x\to 0)$.