高数笔记-第九章 多元函数微分法及其应用-2

第九章 多元函数微分法及其应用

第二节 偏导数

偏导数的定义及其计算法

二元函数$z=f(x,y)$对于$x$的偏导数有如下定义：
定义 设函数$z=f(x,y)$ 在点$(x_0,y_0)$的某一邻域内有定义，当$y$固定在$y_0$而$x$在$x_0$处有增量$\Delta x$时，相应地函数有增量
$$f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)$$
如果
$$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}\text{\hspace{1em}(2-1)}$$
存在，那么称此极限为函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处对$x$的偏导数，记作
${\frac{\partial z}{\partial x}|}_{\genfrac{}{}{0ex}{}{x=x_0}{y=y_0}}$, ${\frac{\partial f}{\partial x}|}_{\genfrac{}{}{0ex}{}{x=x_0}{y=y_0}}$,${z_x|}_{\genfrac{}{}{0ex}{}{x=x_0}{y=y_0}}$ 或 $f_x(x_0,y_0)$

极限（2-1）可以表示为
$$f_x(x_0,y_0)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}$$

类似地，函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处对$y$的偏导数定义为
$$\underset{\Delta y\to 0}{\lim }\frac{f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)}{\Delta y}$$
记作${\frac{\partial z}{\partial y}|}_{\genfrac{}{}{0ex}{}{x=x_0}{y=y_0}}$ ,${\frac{\partial f}{\partial y}|}_{\genfrac{}{}{0ex}{}{x=x_0}{y=y_0}}$, ${z_y|}_{\genfrac{}{}{0ex}{}{x=x_0}{y=y_0}}$ 或 $f_y(x_0,y_0)$

三元函数的偏导数

$$f_x(x,y,z)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\Delta x,y,z)-f(x,y,z)}{\Delta x}$$

例题

例 1 求$z=x^2+3xy+y^2$在点$(1,2)$处的偏导数.
例 2 求$z=x^2\sin 2y$的偏导数.
例 3 设 $z=x^y(x>0,x\ne 1)$，求证：
$$\frac{x}{y}\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{1}{\ln x}\frac{\partial z}{\partial y}=2z$$.
例 4 求 $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$的偏导数.
例 5 已知理想气体的状态方程$pV=RT$（$R$为常量），求证：
$$\frac{\partial p}{\partial V}\cdot \frac{\partial V}{\partial T}\cdot \frac{\partial T}{\partial p}=-1.$$

二元函数偏导数的几何意义.

高阶偏导数

未完待续$\cdots$