6.3 微分方程系统（1）

一、常系数微分方程

特征值与特征向量和 $A=X\Lambda X^{-1}$ 很适合求解 $A^k$，对于微分方程 $d\mathbf{u}/dt=A\mathbf{u}$ 的求解也很合适。本节大部分都是线性代数，但是需要知道微积分的一个知识：$e^{\lambda t}$ 的导数是 $\lambda e^{\lambda t}$。本节的重点是：把常系数微分方程转换成线性代数。
常微分方程 $\frac{du}{dt}=u$ 和 $\frac{du}{dt}=\lambda u$ 的解是指数形式：$$\frac{du}{dt}=u的解是u(t)=C{e}^t\frac{du}{dt}=\lambda u的解是u(t)=C{e}^{\lambda t}(\mathrm{6.3.1})$$在时间 $t=0$ 时这些解都包含 $e^0=1$，所以此时它们都简化成 $u(0)=C$，这个 “初始值（initial value）” 告诉我们 $C$ 是什么。在 $t=0$ 时从数字 $u(0)$ 开始的上式的解是 $u(t)=u(0)e^t$ 和 $u(t)=u(0)e^{\lambda t}$。
我们仅仅求解了 $1\times 1$ 的问题，线性代数会移到 $n\times n$。未知数是一个向量 $\mathbf{u}$（现在加粗了），它由给定的初始向量 $\mathbf{u}(0)$ 开始。这 $n$ 个方程包含一个方阵 $A$，我们希望从 $n$ 个 ${\lambda }^{\prime }s$ 得到 $\mathbf{u}(t)$ 的 $n$ 个指数 $e^{\lambda t}$：

$$n个方程的系统\frac{d\mathbf{u}}{dt}=A\mathbf{u}从t=0时的向量\mathbf{u}(0)=\left[\begin{array}{c}{u}_1(0)\\ \cdots \\ u_n(0)\end{array}\right]开始(\mathrm{6.3.2})$$

这些微分方程是线性的，如果 $\mathbf{u}(t)$ 和 $\mathbf{v}(t)$ 是解，则 $C\mathbf{u}(t)+D\mathbf{v}(t)$ 也是解。我们需要 $n$ 个像 $C$ 和 $D$ 一样的常数来匹配 $\mathbf{u}(0)$ 的分量，第一份工作是使用 $A\mathbf{x}=\lambda \mathbf{x}$ 求出 $n$ 个 “纯指数解（pure exponential solutions）” $\mathbf{u}=e^{\lambda t}\mathbf{x}$。
注意 $A$ 是常数矩阵，在其它的线性方程组中，$A$ 随着 $t$ 改变；非线性方程组中，$A$ 随着 $\mathbf{u}$ 改变。我们这里没有那么困难，$d\mathbf{u}/dt=A\mathbf{u}$ 是 “线性且是常系数”。只有这样的微分方程组我们才能直接转换成线性代数，下面是关键：$$当A\mathbf{x}=\lambda \mathbf{x}时，用指数形式的e^{\lambda t}\mathbf{x}求解线性常系数微分方程。$$

二、du/dt = Au 的解

我们的纯指数解是 $e^{\lambda t}$ 乘上一个固定的向量 $\mathbf{x}$，可以猜到这个 $\lambda$ 就是 $A$ 的特征值，$\mathbf{x}$ 是特征向量。将 $\mathbf{u}(t)=e^{\lambda t}\mathbf{x}$ 代入到方程 $d\mathbf{u}/dt=A\mathbf{u}$ 中可以验证这个猜测是正确的。因子 $e^{\lambda t}$ 会消去最终留下 $\lambda \mathbf{x}=A\mathbf{x}$：

$$\begin{array}{l}当A\mathbf{x}=\lambda \mathbf{x}时，\\ 令\mathbf{u}=e^{\lambda t}\mathbf{x}\end{array}\frac{d\mathbf{u}}{dt}=\lambda e^{\lambda t}\mathbf{x}和A\mathbf{u}=A{e}^{\lambda t}\mathbf{x}是一致的(\mathrm{6.3.3})$$

$\mathbf{u}=e^{\lambda t}\mathbf{x}$ 这个特解的所有分量都有相同的 $e^{\lambda t}$。当 $\lambda >0$ 时，解增长；当 $\lambda <0$ 时解衰减。如果 $\lambda$ 是一个复数，它的实部决定增长或衰减；虚部 $\omega$ 产生振荡，像正弦波一样。

【例1】求解 $\frac{d\mathbf{u}}{dt}=A\mathbf{u}=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]\mathbf{u}$，从 $\mathbf{u}(0)=\left[\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right]$ 开始。
这是一个关于 $\mathbf{u}$ 的向量方程，它含有两个分量分别是 $y$ 和 $z$ 的数量方程。这两个方程 “耦合（coupled together）” 在了一起，因为矩阵 $A$ 不是对角矩阵：$$\frac{d\mathbf{u}}{dt}=A\mathbf{u}\frac{d}{dt}\left[\begin{array}{c}y\\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}y\\ z\end{array}\right]表示\frac{dy}{dt}=z和\frac{dz}{dt}=y$$特征向量的思想是将这些方程以某种方式组合起来，然后回到 $1\times 1$ 的问题。本题可以组合成 $y+z$ 和 $y-z$，将两个方程相加和相减：$$\frac{d}{dt}(y+z)=z+y和\frac{d}{dt}(y-z)=-(y-z)$$$y+z$ 的组合像 $e^t$ 一样增长，因为它的 $\lambda =1$；$y-z$ 的组合像 $e^{-t}$ 一样衰减，因为它的 $\lambda =-1$。重点是：我们没有必要用原始方程 $d\mathbf{u}/dt=A\mathbf{u}$ 来找这些特殊的组合，$A$ 和特征值和特征向量会给我们做好这件事。
矩阵 $A$ 的特征值是 $1$ 和 $-1$，特征向量 $\mathbf{x}$ 是 $(1,1)$ 和 $(1,-1)$。纯指数解 ${\mathbf{u}}_1$ 和 ${\mathbf{u}}_2$ 都是指数 $e^{\lambda t}$ 的形式，其中 ${\lambda }_1=1，{\lambda }_2=-1$：

$$\boxed{{\mathbf{u}}_1(t)=e^{{\lambda }_{1}t}{\mathbf{x}}_1=e^t\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]}和\boxed{{\mathbf{u}}_2(t)=e^{{\lambda }_{2}t}{\mathbf{x}}_2=e^{-t}\left[\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right]}(\mathrm{6.3.4})$$

注意：这些 ${\mathbf{u}}^{\prime }s$ 满足 $A{\mathbf{u}}_1={\mathbf{u}}_1$ 和 $A{\mathbf{u}}_2=-{\mathbf{u}}_2$，就如同 ${\mathbf{x}}_1$ 和 ${\mathbf{x}}_2$ 一样。因子 e t e^t