14、非线性偏微分方程的行波解、分岔分析及分数阶系统的残差幂级数解

非线性偏微分方程的行波解、分岔分析及分数阶系统的残差幂级数解

1 引言

在科学和技术的众多领域中，非线性偏微分方程（NLPDEs）被广泛用于描述各种物理现象。其中，Chaffee - Infante方程和分数阶双哈密顿Boussinesq系统是两类重要的非线性偏微分方程。Chaffee - Infante方程是一个二阶非线性偏微分方程，具有非线性项$\lambda(u^3 - u)$，存在二维和三维形式。而分数阶双哈密顿Boussinesq系统则在描述浅水波等物理现象中具有重要应用。

本文将分别介绍求解Chaffee - Infante方程的行波解和分岔分析方法，以及分数阶双哈密顿Boussinesq系统的残差幂级数解（RPSM）方法。

2 一阶积分法求解Chaffee - Infante方程行波解

2.1 一阶积分法算法步骤

一阶积分法由Feng引入，用于寻找NLPDEs的精确行波解，具有避免繁琐计算和提供精确解的优点。具体步骤如下：
1. 考虑非线性PDE的形式：$\Re(w, w_x, w_t, w_{xx}, w_{xt}, \cdots) = 0$，使用变换$\xi = x - ct$，将其转换为非线性ODE：$\hbar(W, W’, W’‘, \cdots) = 0$，其中撇号表示对$\xi$求导。
2. 假设ODE的解可以写成$v(x, t) = g(\xi)$。
3. 引入新的自变量$X(\xi) = g(\xi)$，$Y = \frac{\partial g(\xi)}{\partial \xi}$，得到非线性常微分方程组：$\frac{\partial X(\xi)}{\parti