3.1 线性变换简介

1.线性变换简介

2.线性变换和矩阵的关系

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1.线性变换简介

1).线性变换简介

从不同的角度看Ax(矩阵A表示m * n)

a.Ax看作"A的列向量的线性组合"

b.Ax看作"矩阵A将x从一个向量空间转换到另一个向量空间"

比如: b不等于0, 将x从R^n空间变换为A的列空间(R^m)

"矩阵A将向量从一个向量空间转换到另一个向量空间的过程称为变换",变换类似于函数, 输入一个向量, 得出另一个向量;若

满足下面的条件称为线性变换

a.可加性: T(u + v) = T(u) + T(v)

b.数乘性: T(cu) = cT(u)

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2).向量乘法满足"线性变换的条件"

设A是一个m * n的矩阵, x是n维列向量, 我们定义映射: 

"T(x) = Ax这个映射的作用是把n维向量空间R^n中的向量, 映射到m维向量空间R^m中", 可以验证它满足线性变换的两个条件

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3).复合线性变换

复合线性变换指的是"多个线性变换依次作用在向量上的操作", 其核心性质是: 复合后的变换仍然是线性变换,且对应的矩阵

等于各线性变换矩阵的乘积

复合变换仍是线性变换的证明

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2.线性变换和矩阵的关系

1).线性变换和矩阵的关系

T: V -> W表示的是"线性变换本身(一种向量空间之间的映射规则)", 而矩阵是"线性变换在特定基下的表示形式"

a.线性变换

- 本质: "向量空间V -> W的映射规则, 满足可加性、齐次性"

- 表现形式: 抽象的"操作定义"(比如: 绕x轴旋转30°, 沿z轴投影)

b.矩阵

- 本质: "线性变换T在选定基向量后的数值化载体"

- 表现形式: 具体的m * n数表

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2).几何层次和数值计算层次

a.几何变换层面(T的本质)

- 内容: "向量的几何形态改变(投影、旋转、缩放)"

- 是否依赖基 / 坐标: 完全不依赖

- 例子: 把3D箭头压到xy平面

b.数值计算层面(矩阵的作用)

- 内容: "用数值描述变换前后的向量"

- 是否依赖基 / 坐标: 必须依赖基 / 坐标

- 例子: 用标准基写出 (1,1,1) -> (1,1,0), 再构造矩阵

a.无坐标的几何变换(T的本质作用)

b.坐标表示是"描述工具", 不是"变换前提"

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3).求解线性变换矩阵

a.只要知道线性变换T对定义域V的一组基向量的作用结果, 就能推出T对V中任意向量的作用结果

b.用W的基表示T(ai), 是为了得到坐标数值

c.最终目标: 让"线性变换计算"等价于"矩阵乘法"