2、积分几何中的点与无界探针

积分几何中的点与无界探针

1. 点的相关概念

1.1 点的表示与平移不变密度

在任意轴（即实数轴 $\mathbb{R}$）上，横坐标为 $p$ 的点可表示为 $L_0^1 \equiv L_0^1(p)$。这里下标和上标分别表示探针和包含空间的维度。该点的平移不变密度是长度元素，即：
$dL_0^1 = dp$

在 $d$ 维欧几里得空间 $\mathbb{R}^d$ 中，点 $L_0^d$ 的平移不变密度是相应的体积元素（即勒贝格测度元素）：
$dL_0^d = dx = dx_1dx_2 \cdots dx_d$
其中 $x \in \mathbb{R}^d$ 表示具有笛卡尔坐标 $(x_1, x_2, \cdots, x_d)$ 的点。

1.2 不变密度与楔积

一般来说，不变密度本质上是楔积或外积。例如，在 $\mathbb{R}^2$ 中，如果坐标轴相互正交，$dx = dx_1dx_2$ 成立；若坐标轴夹角为 $\alpha$，则：
$dx = dx_1 \wedge dx_2 = \sin \alpha dx_1 dx_2$
这表示边长为 $dx_1$、$dx_2$ 且夹角为 $\alpha$ 的斜矩形的面积。另一种表示法为 $dx = [dx_1 dx_2]$。配备运动不变密度的测试探针称为不变探针。

2. 平面中的不变直线

2.1 过原点的轴

在平面 $\mathbb{R}^2$ 中，固定一个以原点 $O$ 为中心的直角坐标系 $Ox_1x_2$。方向为 $\phi \in [0, \pi)$ 的轴 $L_1^2[0] \