3、积分几何中的克罗夫顿公式及其应用

积分几何中的克罗夫顿公式及其应用

1. 基本概念与预备知识

在积分几何中，我们常常会遇到固定几何对象被不变探针击中的情况。比如，一条有限长度的有界平面曲线被一条直线击中，它们的交点通常是有限个点。我们的目标是计算所有可能的测试线与该对象相交的总交点数的不变积分。

几何对象通常用欧几里得空间的子集 $Y$ 来建模。这里主要考虑固定且有界的集合，有界集合是指能被包含在有限半径球内的集合。曲线和曲面假定为分段光滑，即在几乎每个点都有唯一的切线，“几乎”意味着可能除了有限个顶点或边之外该条件都成立。

一个集合 $Y$ 若为其边界 $\partial Y$ 和内部 $Y^{\circ}$ 的并集，则称其为闭集；若既闭又有界，则称为紧集。通常我们关注的是具有分段光滑边界的紧集。例如，一个神经元可看作是由三维紧集建模的神经元体和多个单独处理的树突组成。这里所考虑的紧集不包括附着在紧集边界上的低维集合，如曲线或三维情况下的表面碎片。在这种限制下，一条直线与全维紧集边界的交点数通常为偶数，且一般不需要更多的形状假设。

若一个紧集中任意两点间的直线段都完全包含在该集合内，则称其为凸集。紧集假定具有有限测度，例如曲线有正的有限长度，曲面有正的有限表面积，二维平面区域有正的有限面积，三维区域有正的有限体积。一个全维紧集，即有边界的非空区域，简称为“区域”。

2. 维数关系

考虑一个紧集 $Y \subset R^d$（$d = 1, 2, \cdots$）和配备了运动不变密度的测试探针 $T$。一个基本前提是，只要 $Y \cap T \neq \varnothing$，其交集必须由可观测测量的点、曲线等组成。因此有：
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