4、积分几何基础结果及相关应用

积分几何基础结果及相关应用

1. 积分几何基本系数

在积分几何中，有一些重要的系数。相关系数如下：
- (𝑐_{10}(1, 2) = 𝜋)
- (𝑐_{10}(2, 3) = 𝑐_{10}(1, 3) = 2𝜋)
- (𝑐_1(1, 1, 2) = 2)
- (𝑐_1(2, 1, 3) = 𝑐_1(1, 2, 3) = 𝜋)
- (𝑐_1(2, 2, 3) = 𝜋^2/2)

这些系数在后续的积分几何计算和公式推导中起着关键作用。

2. Crofton公式相关

2.1 无界探针的Crofton公式

“Crofton公式”这一术语是为了纪念Morgan W. Crofton（1826 - 1915）。他首次为无界探针分配了像 (d𝐿_2^1 = d𝑝d𝜙) 这样的密度，从而得到了关于凸集的显著相交公式，尤其侧重于几何概率。在19世纪，不同的作者独立地得到了更一般的结果，如式(1.5.8)、(1.5.10)、(1.5.12)和(1.5.14)。

2.2 推广

20世纪初，测度论和积分几何的正式发展表明，M. W. Crofton提出的密度确实是运动不变的。由此，得到了更高维度和常曲率空间中的一般Crofton相交公式。例如，式(1.5.15)中的数值系数与Santaló（1976）的式(14.69)或De - lin（1994）的式(6.7.11)相同。

3. 从垂直截面求表面积

3.1 表示方法

固定一个垂直轴，用垂直平面 (𝐿_3^2·𝑣(���