8、积分几何与几何抽样基础

积分几何与几何抽样基础

1. 积分几何基本结果

积分几何在研究集合的几何性质方面有着重要作用，下面将介绍一些相关的基本公式和定理。
- 相关公式的起源
- 命中与投影公式 ：式(1.19.7)和式(1.19.8)由Cauchy于1832年推导得出。
- Minkowski定理 ：式(1.19.13)的简单证明归功于Miles（1981），而经典证明可参考Kendall和Moran（1963）。
- 垂直投影 ：式(1.19.32)给出的垂直平板表示法由Gokhale（1990）提出，Cruz - Orive和Howard（1991）对其进行了扩展，Gokhale和Beneš（1998）则给出了从总垂直投影计算凸体平均曲率积分的表示法。

2. 有界探针的命中测度与运动学公式

• 引言
  考虑一个固定区域 (Y⊂R^d)（(d = 1, 2, \cdots)），其边界分段光滑，被一个移动的紧致集 (T≡T^d_r(x, u_d)⊂R^d) 命中，(T) 作为有界测试探针，具有运动学密度 (dT = dxdu_d)。其中 (x) 表示 (T) 的关联点，(u_d) 表示来自绕原点旋转的特殊群 (G_d[0]) 的方向参数向量。相关的命中测度为：
  [
  h(Y) = meas{T: Y∩T≠∅} = \int_{Y∩T≠∅} dT = \int_{G_d[0]} du_d \int_{Y⊕˘T≠∅} dx = \int_{