5、积分几何基础结果与欧拉 - 庞加莱特征

积分几何基础结果与欧拉 - 庞加莱特征

1. Blaschke–Petkantschin 面积和体积幂公式

• 平面集合 ：考虑平面区域 (Y \subset R^2)，面积为 (A)。为简化，假设 (Y) 是凸的。用一对不变点 ({x_0, x_1}) 作用于集合 (Y)，可得 (A^2 = \int_Y dx_0 \int_Y dx_1)。通过一系列推导（应用式 (1.2.27)），得到 Crofton 公式：
  [A^2 = \frac{1}{3} \int L^3(Y \cap L^2_1) dL^2_1]
  此公式由 M. W. Crofton 首次推导得出。
• 三维集合
  • 对于凸域 (Y \subset R^3)，体积为 (V)，通过类似方法，由式 (1.2.28) 可得 Hostinský 公式：
    [V^2 = \frac{1}{6} \int L^4(Y \cap L^3_1) dL^3_1]
  • 若用枢轴平面 (L^3_2[0] \equiv L^3_2(0, u)) 穿过 (Y) 内的枢轴点 (O)，再用两个不变点 ({z_1, z_2}) 作用于相应的枢轴截面，可得：
    [V^2 = 2 \int_{S^2_+} \nabla^2[0] \cdot a^2_0 du]
    其中 (a_0 = A(Y \cap L^3_2[0])) 为枢轴截面面积。
  • 若用不变平面 (L^3_2) 直接作用于 (Y)，再用三个不变点 ({z_0, z_1, z_2}) 作用于相应截面，可得：