11、几何采样中的有界测试探针与粒子计数方法

几何采样中的有界测试探针与粒子计数方法

在几何采样领域，有界测试探针的运用以及粒子计数规则是重要的研究内容。下面将详细介绍相关概念、方法以及它们之间的联系。

1. 卷积与相关定义

在连续情况下，卷积是一个重要概念。对于两个可积函数 (f, w: R \to R^+)，它们的卷积定义为：
((f * w)(x) = \int_{R} f(x - y)w(y) dy = \int_{R} f(y)w(x - y) dy = (w * f)(x))
同时，定义 (\breve{1} {[0,t]}(x) = 1 {[0,t]}(-x))，即指示函数关于原点的反射。

2. 有界测试探针的定义

在 (R^d) 中，维度为 (r \in {1, 2, \ldots, d}) 的有界测试探针记为 (T^d_r(x, u_d))，其中 (x \in R^d) 是关联点（AP），(u_d \in G_d[0]) 是方向参数向量。这里采用简化记号：
(D^{\oplus}(u_d) \equiv D \oplus \breve{T}^d_r(0, u_d))
(Y^{\oplus}(u_d) \equiv Y \oplus \breve{T}^d_r(0, u_d))
其中 (D \subset R^d) 表示一个 (d) - 球，(Y \subset R^d) 是维度 (q \geq d - r) 的集合。若 (D) 是球，(D^{\oplus}(u_d)) 的体积不依赖于 (u_d)，即 (V(D^{\oplus}(u_d)) = V(D^{\oplus}))。

在采样轴（(d =