7、积分几何基础结果：摆线、欧拉 - 庞加莱特征与击中测度

积分几何基础结果：摆线、欧拉 - 庞加莱特征与击中测度

1. 摆线的奇妙特性

摆线是一条具有悠久历史的非凡曲线。当一个圆沿着 (Ox_1) 轴滚动一整圈时，圆上一个初始位于原点的固定点所描绘出的轨迹就是摆线弧（(p\in[0,\pi))）。在 16 和 17 世纪，数学家和物理学家对摆线的性质进行了深入研究。其中，雅各布·伯努利发现了摆线的最速降线性质，而克里斯蒂安·惠更斯则发现了等时性和等时摆性质。惠更斯等时摆线摆的原理就基于等时性以及半摆线弧的渐屈线是全等半摆线弧这一事实。

2. 有界探针下的欧拉 - 庞加莱特征

之前的恒等式（1.10.12）和（1.12.7）分别基于薄扫描条纹和薄板，这隐含地假设了感兴趣的区域是完全可观测的。下面将使用有界平移不变探针，且仅涉及探针内的信息。

2.1 平面域的壳公式

设 (Y\subset R^2) 表示一个平面域，其边界 (\partial Y) 分段光滑且无重点。考虑一系列厚度为 (a > 0) 的相邻水平条纹 ({A_i, i\in Z})：
[A_i = {(x_1, x_2)\in R^2 : x_1\in R, (i - 1)a\leq x_2\leq ia}]
根据式（1.10.11），(Y) 的欧拉 - 庞加莱特征可表示为：
[\chi(Y)=\sum_{i\in Z}{\chi(Y\cap A_i)-\chi(Y\cap A_i\cap A_{i + 1})}]
再考虑一系列厚度为 (b > 0) 的相邻垂直条纹 ({B_j, j\in Z})：
[B_j = {(x_1, x_2)\in R^2 : (j - 1