13、几何采样中的粒子体积高阶矩与投影方法

几何采样中的粒子体积高阶矩与投影方法

1. 粒子体积高阶矩的 Blaschke–Petkantschin 公式

在几何采样中，对于粒子体积的高阶矩计算，有重要的 Blaschke–Petkantschin 公式。
- 单粒子与枢轴平面采样 ：考虑一个包含枢轴点 (O) 和枢轴平面 (L_3^2[0] \equiv L_3^2(0, u)) 的三维区域 (Y)，体积为 (V)。在枢轴截面 (Y \cap L_3^2(0, u)) 中生成两个独立的均匀随机（UR）点 ((z_1, z_2))，设 (\nabla_2[0] \equiv \nabla_2 0 ) 表示以 ((O, z_1, z_2)) 为顶点的三角形面积，(a_0 \equiv a_0(u)) 表示枢轴截面面积。根据相关公式可得：
[V^2 = 4\pi E(\nabla_2[0] \cdot a_0^2)]
其中概率元素 (P(dz_1, dz_2, du) = dz_1 dz_2 du/(2\pi a_0^2))。
- 单粒子与等向均匀随机（IUR）平面采样 ：若用 IUR 平面 (L_3^2(p, u)) 与区域 (Y) 相交，在截面 (Y \cap L_3^2(p, u)) 中生成三个独立的 UR 点 ((z_1, z_2, z_3))，设 (a = a(u)) 为截面面积，(\nabla_2 \equiv \nabla_2(z_1, z_2, z_3, u)) 为以 ((z_1, z_2, z_3)) 为顶点的三角形面积。则有：
[