10、基于B样条的二阶椭圆常微分方程分析

基于B样条的二阶椭圆常微分方程分析

1. 位移分量与基本假设

在实际分析中，位移通常具有三个分量，在固体力学文献里，位移分量常表示为 ${\delta}^T = [\delta_x(x, y, z) \ \delta_y(x, y, z) \ \delta_z(x, y, z)]$。不过在一维情况下，为了简便，通常使用 $\delta \equiv \delta_x$。这里避免使用 ${\delta}^T = [u(x, y, z) \ v(x, y, z) \ w(x, y, z)]$ 这种表示，是为了防止与定义IGA基函数时使用的参数坐标 $u$ 产生混淆。

2. 从常微分方程到积分形式

运用伽辽金加权残值法，将残值乘以近似空间形式，并令它们的积分等于零，从而得到等价的积分形式：
[I = \int_{0}^{L} \delta(x) \left(-\frac{d}{dx} \left(E(x)A(x)\frac{d\delta(x)}{dx}\right) - w(x)\right) dx \equiv 0]
这里，$E(x)$ 是弹性模量，$A(x)$ 是横截面积，$w(x)$ 是单位长度上的力。

通过格林定理（分部积分）对第一项进行变换，可得：
[I = -\left[\delta(x) \left(E(x)A(x)\frac{d\delta(x)}{dn}\right)\right] 0^L + \int {0}^{L} \left(\frac{d\delta(x)}{dx} E(x)A(x)\frac{d\delta(x)}{dx}\right) dx - \int_{0}^{L} \del