27、图像复原中的最优滤波器及相关技术

图像复原中的最优滤波器及相关技术

在图像复原领域，为了获得高质量的图像，人们开发了多种滤波器。本文将详细介绍维纳滤波器、功率谱均衡滤波器（PSE）、约束最小二乘滤波器（CLS）和几何均值滤波器等，分析它们的原理、特点和应用。

1. 维纳滤波器分析

维纳滤波器是一种基于最小均方误差准则的最优滤波器。在真实图像中，相邻像素之间通常存在很强的相关性，而距离较远的像素之间相关性较弱。假设理想图像 $f_I(m, n)$ 是一个均匀随机过程（即整个图像的平均值 $\langle f_I \rangle$ 为常数），其自相关函数仅取决于像素之间的距离，可表示为：
[
R_{f_I}(i, j) = \sum_{l = 0}^{M - 1} \sum_{k = 0}^{M - 1} f_I(l, k) \cdot f_I(i + l, j + k)
]
由于自相关函数的性质，理想图像 $f_I$ 的频谱对应于其自相关函数的傅里叶变换。这意味着理想图像的傅里叶频谱会向高频对称下降。需要注意的是，任何图像都只有一个功率谱，但给定一个功率谱，可能有不同信息内容的图像，这极大地限制了频域中图像的处理操作（如分类、分割、模式识别等）。

噪声功率谱通常是平坦的。一般来说，信号频谱在低频段占主导，而噪声频谱在高频段占主导。因此，信噪比 $SNR(u, v) = P_f(u, v) / P_{\eta}(u, v)$ 在低频段具有较高的值，并向高频段下降，此时信号和噪声的趋势会反转。这就解释了维纳滤波器的特性曲线，它类似于带通滤波器，在低频段作为逆滤波器（呈上升趋势），在高频段作为平滑滤波器（呈下降趋势以衰减噪声占主导的频率）。

然而，基于最小均方误