22、概率混合自动机稳定性证明的分解方案

概率混合自动机稳定性证明的分解方案

1. 引言

在分析概率混合自动机的稳定性时，分解是一种有效的方法。通过将复杂的自动机分解为多个子自动机，可以分别解决线性矩阵不等式（LMI）问题，从而逐步设计出稳定的混合自动机。这种分解不仅可以实现问题的简化，还能在一定条件下将子自动机组合成新的稳定自动机。

2. 李雅普诺夫函数的分解计算

这里主要探讨基于自动机的稳定性证明分解方法，与在连续状态空间上的输入 - 状态稳定系统的组合技术不同。混合自动机可被分解为多个子自动机，对于这些子自动机的 LMI 问题，既可以完全独立求解，也可以顺序求解，但在求解过程中需要传递一些信息。与非随机情况相比，随机稳定性证明能得到更强的分解结果，这得益于对转移特性的利用。以下是不同层次的分解介绍：

2.1 强连通分量（SCC）的分解

• 定义 ：超图的强连通分量（SCC）是一个最大的子图 G，使得 G 中的每个节点都可以从其他节点到达。这里的可达性仅基于图结构，不考虑连续动力学、不变量和防护条件。
• 定理 ：设 H 是一个概率混合自动机，如果 H 的所有 SCC 对应的子自动机相对于 0 是全局渐近稳定概率（GAS - P）的，那么 H 也是 GAS - P 的。这意味着可以对每个 SCC 局部求解 LMI 问题，从而证明整个系统的 GAS - P 性质。
• 推论 ：如果概率混合自动机 H 的所有 SCC 都是全局吸引概率（GA - P）的，但相对于不同的平衡状态，那么 H 的每个轨迹将以概率 1 收