凸优化第三章凸函数 3.4拟凸函数

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拟凸函数是具有特定下水平集性质的函数，不同于凸函数，拟凸函数并不保证全局的凸性。文章介绍了拟凸函数的定义，通过例子展示了如何判断一个函数是否为拟凸函数，并探讨了拟凸函数的基本性质，如修正的Jensen不等式。此外，还讨论了在实数集R上拟凸函数的特征以及可微拟凸函数的一阶条件。

3.4拟凸函数

  1. 定义及例子
  2. 基本性质
  3. 可微拟凸函数

定义及例子

定义

函数f:R^n\rightarrow R称为拟凸函数，如果其定义域和所有下水平集S_\alpha =\left \{ x\in dom(f) |f(x)\leq \alpha \right \},\alpha \in R，都是凸集。

如果f(x)是拟凸函数，则-f(x)是拟凹函数。拟凹函数：每个上水平集均为凸集。如果一个函数既是拟凸函数又是拟凹函数，其为拟线性函数。

如上图，S_\alpha=[a,b],S_\beta=(-\infty ,c]，两个下水平集均为凸集。

而上图，S_a=[c,d]\cup [e,g],S_b=[h,i]，显然S_a不是凸集，f(x)不是拟凸函数。

结论：凸函数具有凸的下水平集，即凸函数也是拟凸函数，但从第一个图可以看出拟凸函数未必是凸函数。

对于上下水平集是否是凸集的判断，主要在于区间是否连续。

例子

\sqrt{|X|}是拟凸函数，可以看出对任意的\alpha，下水平集是凸集，而上水平集不是凸集。

log(x)是拟线性函数，从下图可以看出，可以看出对任意的\alpha，下水平集上水平集都是凸集。

f(x_1,x_2)=x_1x_2在R_{++}^2上是拟凹函数，因为其上水平集是凸集。

线性分式f(x)=\frac{a^Tx+b}{c^Tx+d},dom(f)=\left \{ x|c^Tx+d>0 \right \}也是拟线性函数，因为其下水平集

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