拟凸函数和凸函数的区别

本文讲述了拟凸函数和凸函数的基本概念和区别。

一、定义

拟凸函数：

函数f（x），对定义域S（凸集）上任意两点x1，x2∈S，Θ∈[0，1]，如果有f[Θx1+（1-Θ）x2]≤max{f（x1），f（x2）}，则称函数f（x）是拟凸的。

凸函数：

函数f（x），对定义域S（凸集）上任意两点x1，x2∈S，Θ∈[0，1]，如果有f[Θx1+（1-Θ）x2]≤Θf(x1)+(1-Θ)f(x2)，则称函数f（x）是凸的。

二、区别

拟凸函数和凸函数的区别很明显，从定义中就可以看出来，凸函数是以两点x1,x2间的任意一点x的函数值，都小于两点连线上对应x的值。而拟凸函数是需要x的函数值小于x1，x2的函数值的最大值即可。

可以证明凸函数一定是拟凸函数：反证法，若存在x1,x2,x,使得f[Θx1+（1-Θ）x2]>max{f（x1），f（x2）}，则假设max{f（x1），f（x2）}=a，则有

f[Θx1+（1-Θ）x2]>max{f（x1），f（x2）}=Θa+(1-Θ)a>=Θf(x1)+(1-Θ)f(x2)，与凸函数定义矛盾。

但是拟凸函数不一定是凸函数，实际上，所有单调连续函数，都是拟凸函数，也都是拟凹函数（拟凸函数中小于等于最大值改为大于等于最小值，即为拟凹函数），因为单调函数的两点x1,x2间的任意一点x，必然会有min{f（x1），f（x2）}≤f(x)≤max{f（x1），f（x2）}，即符合拟凸和拟凹函数的定义。

因此，凹函数也可能是拟凸函数，比如对数函数。