凸优化第三章凸函数 3.3共轭函数

凸优化：3.3共轭函数详解
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本文详细介绍了凸优化中的共轭函数概念，包括定义、基本性质，如Fenchel不等式、共轭的共轭性质。通过讨论可微函数、伸缩变换和复合仿射变换的情况，阐述了共轭函数如何影响最大盈利问题的解决方案。此外，还解释了独立函数的和在共轭函数中的表现。

3.3共轭函数

  1. 定义
  2. 基本性质

定义

设函数f:R^n\rightarrow R，定义函数f^*:R^n\rightarrow R为：

f^*(y)=\underset{x\in dom(f)}{sup}(y^Tx-f(x))

此函数称为f(x)的共轭函数。从3.2节逐点上确界的内容也可以看出，此函数也是g(x,y)=(y^Tx-f(x))的逐点上确界函数，而g(x,y)=(y^Tx-f(x))是关于y的仿射函数，可以将其看成是凸函数，这样f^*(y)也是凸函数。故对任意的函数f(x)，f^*(y)为凸函数。

在实际问题中，可以将x理解为生产一个产品所需要的资源，而f(x)则为生产x的资源的价格，y则是x的销售价格，那么f^*(y)也就变成了最大盈利问题。

几何上，共轭函数f^*(y)表示了线性函数y^Tx和f(x)之间的最大差异。如下图：

 

基本性质

Fenchel不等式

由定义：

f^*(y)=\underset{x\in dom(f)}{sup}(y^Tx-f(x))

可知：

f(x)+f^*(y)\leq y^Tx=x^Ty

此为Fenchel不等式。

共轭的共轭

凸函数f的共轭函数的共轭函数为函数f本身。

可微函数

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