凸函数与伪凸函数

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本文探讨了凸函数与伪凸函数在最优化领域的意义及其性质，分析两者之间的区别与联系，为优化问题提供理论指导。

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凸函数与伪凸函数在最优化中有特殊的意义，有着利于优化的性质。现在予以区分和联系。
凸优化学习笔记 7：拟凸函数 Quasiconvex Function
Glooow的博客
03-06 1万+
个人博客地址 Glooow，欢迎光临~~~ 文章目录1. 拟凸函数定义2. 拟凸函数的判定/等价定义2.1 Jensen 不等式2.1 “降维打击”2.2 一阶条件2.3 二阶条件3. 拟凸函数的保凸变换3.1 与仿射变换复合3.2 最大值/上确界3.3 复合函数3.4 下确界 1. 拟凸函数定义 拟凸函数(quasiconvex function) 的定义为：若 domf\text{dom}...
凸优化第三章凸函数 3.4拟凸函数
清风吹斜阳
01-19 4382
3.4拟凸函数 定义及例子 基本性质 可微拟凸函数 定义及例子 定义 函数称为拟凸函数，如果其定义域和所有下水平集，都是凸集。 如果f(x)是拟凸函数，则-f(x)是拟凹函数。拟凹函数：每个上水平集均为凸集。如果一个函数既是拟凸函数又是拟凹函数，其为拟线性函数。 如上图，，两个下水平集均为凸集。 而上图，，显然不是凸集，f(x)不是拟凸函数。 结论：凸函数具有凸的下水平集...
拟凸函数和凸函数的区别
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HappyRocking的专栏
12-13 1万+
本文讲述了拟凸函数和凸函数的基本概念和区别。 一、定义 拟凸函数： 函数f（x），对定义域S（凸集）上任意两点x1，x2∈S，Θ∈[0，1]，如果有f[Θx1+（1-Θ）x2]≤max{f（x1），f（x2）}，则称函数f（x）是拟凸的。 凸函数： 函数f（x），对定义域S（凸集）上任意两点x1，x2∈S，Θ∈[0，1]，如果有f[Θx1+（1-Θ）x2]≤Θf(x1)+(1-Θ)f(x
拟凸函数与凸函数
u014183377的专栏
12-23 6014
转自：http://blog.sina.com.cn/s/blog_6920072701010hcc.html 凸函数一定是拟凸函数，但反向则不一定成立，如同是单调的函数的凹函数、线性函数、凸函数的图形中，同样满足拟凸函数的定义，即拟凸函数可以是凹函数，也可以是凸函数。 ...
优化理论（三）凸函数、拟凸函数和保凸运算
goodluckcwl的专栏
03-23 1万+
这一节主要学习凸函数的定义以及性质。了解保凸运算，以及上镜图与下水平集等。这些基础知识看似零乱，然而却是后面的基础。特别是，在实际应用中如果我们能把一个问题转化为凸优化问题，是非常好的一步。而能够这样做的前提，是知道基本的函数的凸性以及有哪些保凸运算。上镜图有助于我们从集合的角度理解这个函数为什么是凸的（集合的保凸运算）；水平集是以函数的形式表示集合，类似于等高线，在历史上是重要的方法。这里我们通...
凸优化之凸函数与拟凸函数
baiyi_canggou的博客
09-22 1711
 函数f（x），对定义域S（凸集）上任意两点x1，x2∈S，Θ∈[0，1]， 如果有f[Θx1+（1-Θ）x2]≤max{f（x1），f（x2）}，则称函数f（x）是拟（准）凸的； 如果有f[Θx1+（1-Θ）x2]≤Θf（x1）+（1-Θ）f（x2），则称函数f（x）是凸的。   凸函数一定是拟凸函数，但反向则不一定成立，如同是单调的函数的凹函数、线性函数、凸函数的图形中，同样满足
凝聚函数拟凸性与伪凸性的充分条件 (2012年)
05-24
在优化问题中，伪凸函数往往与最优性条件密切相关。作者给出了当gi(x)为伪凸函数时，凝聚函数g(x,t)保持伪凸性的充分条件。这个充分条件为伪凸函数聚合后的研究提供了理论基础。 总结来说，文章通过定义函数之间的...
伪拟半(E,F)-凸函数的性质 (2012年)
04-23
因此，数学家们对凸集和凸函数的概念进行了扩展，形成了多种类型的凸函数，如半凸函数、拟凸函数和伪凸函数等。 本文主要探讨了其中一类扩展概念，即伪拟半(E,F)-凸函数的性质。为了理解这一概念，首先需要回顾几个...
凝聚函数拟凸性与伪凸性不变的充分条件
12-29
凝聚函数拟凸性与伪凸性不变的充分条件，陈嘉，王纯杰，本文对凝聚函数的拟凸性、伪凸性问题进行了研究，就凝聚函数拟凸性给出与已有文献不同的结论，给出同序的概念并得到拟凸函数凝聚
半p-预不变拟凸函数及其性质 (2010年)
05-26
传统的凸函数在数学规划中有着不可或缺的作用，许多研究者致力于引入各种广义凸函数、广义拟凸函数、广义伪凸函数来推广函数的凸性，以便扩大其应用范围。 预不变凸函数和预不变拟凸函数是两种广义凸函数。预不变凸...
基于B-凸函数多目标优化的充分条件 (2009年)
05-24
本文聚焦于利用B-凸函数及广义B-凸函数的理论框架，对多目标规划问题进行研究，给出了这类问题的最优性充分条件，并将其推广到B-伪凸、B-拟凸、B-不变伪凸、B-不变拟凸等多种广义凸函数上。B-凸函数的概念自提出以来...
凸优化之拟凸函数
pk296256948的博客
07-07 668
拟凸函数 1.定义 2.性质 函数f是拟凸函数的充要条件是：dom f 是凸集，且对于任意x,y属于dom f 及 0 ≤ θ ≤ 1,有 3.可微拟凸函数 4.保拟凸运算 非负加权最大 复合 最小化
拟凸函数，拟凹函数，单峰函数
天天向上的专栏
02-24 2283
为单变量函数时，单峰函数（只有一个局部极小值或局部极大值的函数）要么是拟凸函数，要么是拟凹函数，而多变量函数时则不一定。拟凸（quasi-convex）函数很早就听说过，但是标准定义一直不太了解，现在总结一下。几何意义是函数任意两点连线上的点，在该函数上的值小于这两点对应函数值的最大值。是拟凸函数：若对于其定义域内的任意两个点。上图就是一个拟凸函数。一个定义在凸集上的实数函数。
凸优化第三章凸函数 3.4 拟凸函数
hyl1181的博客
12-16 5210
3.4 拟凸函数 定义及例子 基本性质 可微拟凸函数 定义及例子 定义 函数称为拟凸函数，如果其定义域和所有下水平集，都是凸集。 如果f(x)是拟凸函数，则-f(x)是拟凹函数。拟凹函数：每个上水平集均为凸集。如果一个函数既是拟凸函数又是拟凹函数，其为拟线性函数。 如上图，，两个下水平集均为凸集。 而上图，，显然不是凸集，f(x)不是拟凸函数。 结论：凸函数具有凸的下水平集，即凸函数也是拟凸函数，但从第一个图可以看出拟凸函数未必是凸函数。 对于上下水平集是否是凸集的判断，主要在于
凸优化学习：PART3凸函数的扩展——拟凸函数和对数凸函数
weixin_45745854的博客
02-06 1546
拟凸函数与对数凸、对数凹函数的简单介绍
拟凸函数定义等价证明
Little-finger
12-02 1017
拟凸函数定义等价证明         定义2 若 domf=Z⊂Rn\text{dom} f=Z\subset R^ndomf=Z⊂Rn 为凸集，且对任意的α\alphaα,其下水平集Sα={x∈Z∣f(x)≤α}S_\alpha=\{x\in Z |f(x) \le \alpha\}Sα​={x∈Z∣f(x)≤α}都是凸集，则fff为拟凸函数。 定义1⇒\Rightarrow⇒定义2（由f(x)f(x)f(x)满足定义一推出
凸优化学习-（十三）拟凸函数与拟凸问题
欢迎你
03-15 5339
凸优化学习 今天学习拟凸函数与拟凸问题。 学习笔记 一、α-sublevel-set\alpha\text{-sublevel-set}α-sublevel-set 定义： 若f:Rn→R，其α-sublevel-set为Sα={x∈domf∣f(x)≤α} 若f:R^n\rightarrow R，其\alpha\text{-sublevel-set}为S_\alpha=\lbrace x\in\...
【数学思维】Quasi-convex and quesi-concave
dzc_go的博客
01-07 1657
quasi-convex、convex、quasi-concave、concave
拟凸函数的一二阶条件，以及和凸函数的对比
weixin_30617737的博客
12-26 256
例如三维空间的▽f(x)是一个三维空间的向量，而▽f(x)⊥就是与这个向量内积为零的点，这些点组成了一个二维平面。 转载于:https://www.cnblogs.com/CreatorKou/p/10181300.html...
神经网络凸函数
最新发布
03-29
### 神经网络中凸函数的作用及应用场景 #### 1. 凸函数的定义与性质 在数学上，如果对于任意两个点 \(x_1\) 和 \(x_2\) 及其线性组合 \(\lambda x_1 + (1-\lambda)x_2\)（其中 \(0 \leq \lambda \leq 1\)），满足不等式 \[f(\lambda x_1 + (1-\lambda)x_2) \leq \lambda f(x_1) + (1-\lambda)f(x_2)\]，则称该函数为凸函数[^1]。这种特性使得凸函数具有良好的优化属性。 #### 2. 凸函数在神经网络中的意义 尽管大多数现代神经网络是非凸结构，但在某些特定情况下，凸函数的概念仍然非常重要。例如： - **损失函数的设计**：在一些简单的监督学习任务中，可以设计出基于凸函数的损失函数来简化优化过程。比如均方误差（MSE）是一种典型的凸损失函数，适用于回归问题[^3]。 - **正则化项的选择**：L1 或 L2 正则化通常被引入到目标函数中以防止过拟合。这些正则化形式本身也是凸函数的一部分，从而帮助保持整体目标函数的良好收敛性。 #### 3. 应用场景举例 以下是几个具体的应用实例说明了如何利用或者考虑到了凸性的优势： - **支持向量机(SVM)**：SVM 的核心思想就是寻找一个超平面最大化分类间隔，而这个求解过程实际上是一个二次规划问题，属于标准意义上的凸优化范畴。 - **逻辑回归(Logistic Regression)**：虽然最终的目标不是严格意义上的一次多项式表达式的最小化，但由于采用了交叉熵作为代价衡量方式，因此整个训练流程依然遵循着某种广义上的“伪”凸路径前进。 #### 4. 面临挑战与未来方向 然而值得注意的是，在深层架构下由于参数空间维度极高加上激活单元复杂多样等因素共同作用导致实际遇到的情况往往偏离理想状态下的纯凸环境。这就意味着我们需要探索更多高效可靠的近似技术以及其他替代方案以便更好地应对非凸难题带来的困扰。 ```python import numpy as np from scipy.optimize import minimize def convex_loss_function(w, X, y): """A simple example of a convex loss function.""" predictions = X @ w residuals = predictions - y return 0.5 * np.sum(residuals**2) # Example usage with synthetic data X = np.random.rand(100, 5) true_w = np.array([1., .5, -.7, 0., 0.]) y = X @ true_w + np.random.randn(100)*0.1 initial_guess = np.zeros(X.shape[1]) result = minimize(convex_loss_function, initial_guess, args=(X,y)) print(result.x) ``` 上述代码片段展示了一个基本的凸损失函数实现及其对应的数值优化操作演示。 ---
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