凸优化学习-（十三）拟凸函数与拟凸问题

凸优化学习

今天学习拟凸函数与拟凸问题。

学习笔记

一、$\alpha \text{-sublevel-set}$

定义：
若 f : R n → R ， 其 α -sublevel-set 为 S α = { x ∈ dom f ∣ f ( x ) ≤ α } 若f:R^n\rightarrow R，其\alpha\text{-sublevel-set}为S_\alpha=\lbrace x\in\text{dom}f\mid f(x)\le \alpha\rbrace 若f:Rn→R，其α-sublevel-set为Sα​={ x∈domf∣f(x)≤α}

凸函数所有的$\alpha \text{-sublevel-set}$都是凸集。
若函数的$\alpha \text{-sublevel-set}$都是凸集，该函数不一定为凸函数。

$\alpha \text{-sublevel-set}$就是画一条横线，这条横线和它下方的函数构成的区域。

二、拟凸函数 $\text{Quasi Convex Function}$

1.定义

定义1：
Quasi Convex : 对 ∀ α , S α = { x ∈ dom f ∣ f ( x ) ≤ α } 为 凸 。 \text{Quasi Convex}:对\forall\alpha,S_\alpha=\lbrace x\in\text{dom}f\mid f(x)\le \alpha\rbrace为凸。 Quasi Convex:对∀α,Sα​={ x∈domf∣f(x)≤α}为凸。
即拟凸函数的所有的$\alpha \text{-sublevel-set}$都是凸集。
定义2：
max ⁡ { f ( x ) , f ( y ) } ≥ f ( θ x + ( 1 − θ ) y ) dom f 为 凸 , ∀ x , y ∈ dom f , 0 ≤ θ ≤ 1 \max\lbrace f(x),f(y)\rbrace\ge f\big(\theta x+(1-\theta)y\big)\\ \text{dom}f为凸,\forall x,y\in\text{dom}f,0\le\theta\le1 max{ f(x),f(y)}≥f(θx+(1−θ)y)domf为凸,∀x,y∈domf,0≤θ≤1
一般的拟凸函数：

拟凸函数也称$\text{unimodel function}$单模态函数。

一些类似定义：
Quasi Concave : 对 ∀ α , S α = { x ∈ dom f ∣ f ( x ) ≥ α } 为 凸 。 \text{Quasi Concave}:对\forall\alpha,S_\alpha=\lbrace x\in\text{dom}f\mid f(x)\ge \alpha\rbrace为凸。 Quasi Concave:对∀α,Sα​={ x∈domf∣f(x)≥α}为凸。
Quasi Linear : 对 ∀ α , S α = { x ∈ dom f ∣ f ( x ) = α } 为 凸 。 \text{Quasi Linear}:对\forall\alpha,S_\alpha=\lbrace x\in\text{dom}f\mid f(x)= \alpha\rbrace为凸。 Quasi Linear:对∀α,Sα​={ x∈domf∣f(x)=α}为凸。

例1：向量的长度
形如：
f ( x ) = { max ⁡ { i , x ⃗ i ≠ 0 } x ≠ 0 0 x = 0 f(x)=\begin{cases} \max\lbrace i,\vec x_i\ne0\rbrace &x\ne0\\ 0& x=0 \end{cases} f(x)={ max{ i,x i​​=0}0​x