BZOJ 2654 tree 详解（最小生成树 kruskal 二分）

BZOJ 2654 tree

Description
　　给你一个无向带权连通图，每条边是黑色或白色。让你求一棵最小权的恰好有need条白色边的生成树。
　　题目保证有解。

Input
　　第一行V,E,need分别表示点数，边数和需要的白色边数。
　　接下来E行
　　每行s,t,c,col表示这边的端点(点从0开始标号)，边权，颜色(0白色1黑色)。

Output
　　一行表示所求生成树的边权和。

Sample Input
2 2 1
0 1 1 1
0 1 2 0

Sample Output
2

HINT
数据规模和约定

0:V<=10

1,2,3:V<=15

0,..,19:V<=50000,E<=100000

所有数据边权为[1,100]中的正整数。

思路：
巧妙，
我们发现，如果考虑权值，那么就没有办法处理黑白，如果考虑黑白，那么又做不到权值的最优。
所以我们冥思苦想如何把黑白区分开，又不能改变权值之间的优劣。于是就有了一个神奇的解法，如果我们给白边增加权值，那么求最小生成树时，由于白边权值增大，所有不容易选白边。
这样一来，我们既没有改变他们权值的顺序，而且白边选的就会少一点，最小生成树有保证了当前状态下的最优解。
记f(x)为给白边增加x权值，求出最小生成树后，白边的数量，又可以发现，f(x)随x增大而减小，所以二分x的值。
可能有人会疑惑，有可能x在[a,b]中都满足白边数目为need，这个时候x与ans（树的大小）之间并没有单调关系，怎么能二分呢？针对这道题，只要我们找到了满足白边数目为need的状态，那么它就是答案。为什么？因为我们的ans只与选了那些边有关，x我们最终是要剪掉的，又因为保证了need条白边，所以剩下的选择都是黑边了，而黑边是不受x影响的，所以只要满足了need，那么就是答案。