曼哈顿距离几何意义矩形面积并

最新推荐文章于 2025-03-03 09:31:03 发布

w4149

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分类专栏： —————练习赛————— —————妙题————— —————计算几何————— 文章标签：曼哈顿距离面积并

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/w4149/article/details/78470395

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这篇博客探讨了如何利用曼哈顿距离的几何意义解决矩形面积并问题。通过二分答案，构建以坐标点为中心，对角线长度为2*mid的正方形，并讨论了将正方形顺时针旋转45度以简化求解过程。文章提到了在旋转后如何维护正方形的边界，并指出在实际计算中，边长乘以sqrt(2)并不影响求交的结果。虽然数据集比较简单，但未深入讨论交集中是否存在整点的情况。

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11.7

思路：
二分ans，把所有长度>mid的（lf，rg）都搞出来，
然后我们要找出一个点对（u，v），使得|x - u| + |y - v| <= mid。
考虑几何意义，曼哈顿距离的图像限定。
把一个区间（lf，rg）转换成一个点（x，y）。
对于每个点（x，y），我们构建出一个以（x，y）为几何中心，
对角线长2*mid，且对角线平行于坐标轴的正方形。
满足条件的（u，v）就在这个正方形当中（可在边上）。
那么要让所有的（x，y）满足条件，就是看所有正方形是否有交。
我们发现斜45度的正方形交不好求，考虑把正方形扳正。
也就是对于所有的点，都围绕原点顺时针旋转45度。
（当然我们维护一条对角线两端的两个点就好了）
这里维护扳正后正方形的左下角右上角，也就是原正方形的上下两个顶点。
我们发现旋转之后的坐标也不好维护，但是如果我们把正方形边长*sqrt(2)，
（x，y）就会转到（y+x，y-x），很好维护。
而且所有的边都*sqrt(2)对求交并没有影响。
其实还应该讨论一下交中有没有整点，不过数据水还是过了。