Alex_McAvoy的博客

【概述】所谓 k 短路问题，是指给定一个具有 n 个点 m 条边的带正权有向图，再给定起点 S 与终点 T，询问从 S 到 T 的所有权和中，第 k 短的路径的长度。k 短路问题的解决方法有两种，一种是利用A*算法求解，另一种是利用最短路算法与可持久化堆结合求解。【A*算法】对于 Dijkstra 算法，有一个结论是：当一个点第 k 次出队的时候，此时路径长度就是 s 到它的第 k...

【概述】在 DAG 的覆盖与独立集问题中，常见的问题分为三类：最小路径点覆盖 最小路径可重复点覆盖 最大独立集数这三类问题都可以利用二分图的匈牙利算法来解决。【最小路径覆盖】最小路径覆盖：给定一张有向无环图，要求用尽量少的不相交的简单路径，覆盖有向无环图的所有顶点（每个顶点恰好被覆盖一次）根据 Koning 定理的推广：DAG 最小路径覆盖 = DAG 顶点数 - 新二分...

【问题描述】当 G′是图 G的子图，且 G′是关于 V′ 的完全图时，子图 G' 为图 G 的团；当 G' 是团，且不是其他团的子集时，G' 为图 G 的极大团；当 G' 是极大团时，且点数最多，G' 为图 G 最大团当 G′ 中所有点不相邻，最大点集最大的图 G′ 为图 G 的最大独立集，且最大独立集数=补图的最大团当用个数最少的团覆盖图 G 所有的点时，称为最小团覆盖...

【概述】网络流是一个适用范围极广的模型，相关的算法也很多，大体分为最大流、最小割、费用流三类。对于网络流类型的题来说，一般根据题意，分析后建出图后，套用相关模版，即可解决问题。关于网络流的基本概念与建模技巧：点击这里【算法】1.最大流算法求最大流算法分为两类，一种是增广路算法，一种是预留推进算法。增广路算法，常用的有时间复杂度 O(n*m*m) 的 FF 算法、EK 算...

【概述】如果一个系统由 n 个变量 m 个约束条件组成，形成 m 个形如的不等式，其中，k 是常数，则称这 m 个不等式为差分约束系统（system of difference constraints），亦即，差分约束系统是求解关于一组变量的特殊不等式组的方法。如下图，就是一个差分约束系统【求解方法】差分约束系统的求解可以转化为图论的最短路来解决。对于三角不等式，有：...

【问题概述】2-SAT问题是这样的：有n个布尔变量xi，另有m个需要满足的条件，每个条件的形式都是“xi为真/假或者xj为真/假“SAT 是适定性(Satisfiability)问题的简称，一般形式为：k-适定性问题，简称：k-SAT。当 k>2 时，k-SAT 是 NP 完全的，因此一般讨论的是 k=2 的情况，即：2-SAT 问题。关于 2-SAT 问题，简单的来说就是给...

【概述】二分图又称作偶图，是图论中的一种特殊模型。设 G=(V,E) 是一无向图，若顶点 V 可分割为两个互不相交的子集 (A,B)，且图中的每条边（i,j）所关联的两个顶点 i 和 j 分属这两个不同的顶点集 (i ∈A,j ∈B)，则称图 G 为一二分图。其充要条件是：图 G 中至少存在两个点，且图中所有回路的长度均为偶数。简单来说，就是顶点集 V 可分割为两个互不相交的子...

【概述】对一个具有 n 个点的连通图进行遍历，对于遍历后的子图，其包含原图中所有的点且保持图连通，最后的结构一定是一个具有 n-1 条边的树，通常称为生成树。在生成树问题中，最常见的问题就是最小生成树问题，所谓最小生成树，就是对于一个有 n 个点的无向连通图的生成树，其包含原图中的所有点，且保持图连通的边权总和最少的边。简单来说，对于一个有 n 个点的图，边一定是大于等于 n-1 ...

【稳定婚姻问题】1.集合 M 表示 n 个男性2.集合 F 表示 n 个女性3.对于每个人我们都按异性的中意程度给出一份名单（从最中意的到最不中意的）如果没有，f 对 m 比对她的配偶中意的同时 m 对 f 比对他的配偶更加中意，那么这个婚姻是稳定的。如果一个稳定配对不存在另一个稳定婚姻配对，那么这样的配对方案是稳定的。用 A、B 给男性标号，用 1、2 给女性标号，将所...

【概述】带花树算法用于解决一般图的最大匹配问题。对于一个图 G(V,E)，他的匹配 M 是二元组 (u,v) 组成的集合，其中 u,v∈V,(u,b)∈E，且 M 中不存在重复的点，当 |M| 最大的时候，称 M 为图 G(V,E) 的最大匹配。当图 G(V,E) 是一个二分图时，由于其若含有环，则一定是偶环（一个点数为 2k 的环），其最大匹配可以使用匈牙利算法或网络流算法来求解。...

【概述】最短路是图论中十分常见的一个问题，可分为单源最短路与全源最短路。对于单源最短路来说，有时间复杂度为 O(E+VlogV) 要求权值非负的 Dijkstra，时间复杂度为 O(VE) 适用于带负权值的Bellman Ford对于全源最短路来说，有时间复杂度为 O(V*V*V) 的利用动态规划思想的 Floyd 算法，时间复杂度为 O(V*E+V*V*logV) 的基于 Dijk...

【概述】给定一个有向图与一个起点 S，如果要去掉起点 S 到某个点 p 的中间的某个点 x后无法到达，那么称点 x 支配点 p，x 是 p 的一个支配点。显然支配点 x 可以有多个，支配点的集合记为 {Xp}，对于起点以为的点，它们都有两个平凡的支配点，一个是其自身，一个是起点。在支配 p 的点中，若一个支配点 i≠p，满足 i 被 p 剩下的所有非平凡的支配点支配，则称 i 为...

【概述】竞赛图是一定义在有向图上的概念，图中每对不同的顶点通过单个有向边连接，即每对顶点间都有一条有向边。设 D 为 n 阶有向简单图，若 D 的基图为 n 阶无向完全图，则 D 为 n 阶竞赛图。简单来说，竞赛图就是将完全无向图的无向边给定了方向。竞赛图有许多性质，比如在哈密顿问题中，对于 n 阶竞赛图，当 n 大于等于 2 时一定存在哈密顿通路，关于 n阶竞赛图下构造有向图的...

【本文思路】整理自 CDQ 巨佬的弦图与区间图，具体内容：点击这里【概述】1.基本概念设有图 G=(V,E)，则：当 V'∈V,E'∈E 时，图 G'=(V',E') 是图 G 的子图 当 V'∈V,E'={∀x∈V',∀y∈V',(x,y)∈E'} 时，G'(V',E') 是图 G的诱导子图 当 G′是图 G的子图，且 G′是关于 V′ 的完全图时，子图 G' 为...

【概述】图着色问题（Graph Coloring Problem, GCP），是最著名的 NP-完全问题之一。图的 m-着色问题是指：给定无向连通图 G 与 m 种不同的颜色，找出所有不同的着色法个数，使得任意相邻的 2 个顶点有着不同颜色图的 m-着色判定问题是指：给定无向连通图 G 与 m 种不同的颜色，用这些颜色为图 G 的各顶点着色，问是否存在一种着色法使得 G 中任意相邻顶...

【概述】DAG 图的最长路问题是一个比较少见的问题，具体问题是：给出一个 DAG 图，寻找图中的最长路在 AOE 网中，在找出关键路径后，对其进行 DFS 即可得到图的最长路，由于这种方法的实现过于繁琐，这里介绍几种较为简单的实现。【最短路算法】对于最短路算法，Floyd，Dijkstra、Bellman-Ford、SPFA 等，将其松弛操作进行修改，即可将最短路算法变为最长路算法...

【概述】在图论中，环与块的问题十分常见，包括求最小环、判负环、DAG 图判定、求图中是否存在环、求连通块等最小环：点击这里 负权环：点击这里 连通块的计数：点击这里 DAG 图判定：点击这里【例题】Wormholes（POJ-3259）(Ford 判负环)：点击这里 Currency Exchange（POJ-1860）(Ford 求递增环)：点击这里 DAG 图判定（51...

【AOE 网】在表示一个工程时，用顶点表示事件，用弧表示活动，权值表示活动的持续时间，这样的有向图即为 AOE 网。其有两个性质：在顶点表示事件发生之后，从该顶点出发的有向弧所表示的活动才能开始。 在进入某个顶点的有向弧所表示的活动完成之后，该顶点表示的事件才能发生。对于一个工程来说，只有一个开始状态和一个结束状态，因此在 AOE 网中，只有一个入度为 0 的点表示工程的开始，即源...

【AOV网】日常生活中，一项大的工程可以看作是由若干个子工程组成的集合，这些子工程之间必定存在一定的先后顺序，即某些子工程必须在其他的一些子工程完成后才能开始。我们用有向图来表现子工程之间的先后关系，子工程之间的先后关系为有向边，这种有向图称为“顶点活动网络”，即：AOV 网。一个有向无环图称为无环图（Directed Acyclic Graph），简称 DAG 图，因此一个 AOV ...

【概述】图的遍历问题是从图中某一顶点出发，系统地访问图中所有顶点，使每个顶点恰好被访问一次。目前，图的遍历问题分为四类：欧拉通路与欧拉回路问题：遍历完所有的边而不能有重复，即一笔画问题 中国邮递员问题：遍历完所有的边而可以有重复 哈密尔顿问题：遍历完所有的顶点而没有重复 旅行推销员问题：遍历完所有的顶点而可以重复目前，欧拉回路问题与中国邮递员问题已有了完美的解决方法，而哈密尔顿...

【概述】图是计算机中常用的一种存储结构，图论是数学的一个分支，他以图为研究对象，不同情形具有不同的算法。关于图：点击这里【图的常见算法】图的搜索：点击这里 图的遍历：点击这里 AOV 网与拓扑排序：点击这里 AOE 网与关键路径：点击这里 图的连通性：点击这里 Floyd 算法：点击这里 Dijkstra 算法：点击这里 Ford 算法与 SPFA：点击这里 差分...

【基本概念】1.连通图与连通分量1）连通图：无向图 G 中，若对任意两点，从顶点 Vi 到顶点 Vj 有路径，则称 Vi 和 Vj 是连通的，图 G 是一连通图2）连通分量：无向图 G 的连通子图称为 G 的连通分量 任何连通图的连通分量只有一个，即其自身，而非连通的无向图有多个连通分量 以上图为例，总共有四个连通分量，分别是：ABCD、E、FG、HI。...

【概述】图的搜索问题，是给出一个抽象的字符矩阵代表一张图，根据根据题目要求，对图进行搜索，关于搜索算法：点击这里根据搜索方法的不同，分为深度优先遍历（DFS）、广度优先遍历（BFS），两者时间复杂度都是 O(N*N)，通常采用深度优先遍历。【深度优先遍历】图的深度优先遍历的基本过程为：从图中某个顶点 v0 出发，首先访问 v0 访问结点 v0 的第一个邻接点，以这个邻接点 v...