uva 10247 - Complete Tree Labeling(dp)

本文解决了一个关于完全k叉树的节点标记问题,要求节点值不大于其子节点值,探讨了使用动态规划求解方案数量的方法。通过递推公式计算不同层数和分叉数的树的标记方案数。

题目链接:uva 10247 - Complete Tree Labeling


题目大意:给出k和d,表示有一个k叉d层的完全k叉数,然后它的节点数为n个,用1~n给这棵树的节点标号,要求说任意一个节点的值不能大于它的任意一个子节点,每个数只能用一次。问优多少种标记的方法。


解题思路:一般dp都是有dp[i - 1]推导出dp[i]的,这题也不例外,只不过思路和往常不太一样。节点数node[i][j]表示说完全i叉数j层树含有几个节点,node[i][j] = node[i][j - 1] * i + 1,然后ans[i][j] 即为i叉树的标记方式数。然后对于每个ans[i][j]可以看成是i个ans[i][j - 1](子树),根节点肯定是1.然后对于每颗子树需要m = node[i][j - 1]个数来标记节点(数为有序的,并且不相等),就要ans[i][j] = C(node[i][j] - 1, m) * C(node[i][j] - 1 - m, m) * ....* C(m, m) * (ans[i][j - 1] ^ i).


#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <math.h>


#define max(a,b) (a)>(b)?(a):(b)
#define min(a,b) (a)<(b)?(a):(b)

const int MAXSIZE = 10000;

struct bign {
	int s[MAXSIZE];
	bign ()	{memset(s, 0, sizeof(s));}
	bign (int number) {*this = number;}
	bign (const char* number) {*this = number;}
    
	void put();
	bign mul(int d);
	void del();
	void init() { memset(s, 0, sizeof(s)); }
    
	bign operator =  (char *num);
	bign operator =  (int num);

	bool operator <  (const bign& b) const;
	bool operator >  (const bign& b) const { return b < *this; }
	bool operator <= (const bign& b) const { return !(b < *this); }
	bool operator >= (const bign& b) const { return !(*this < b); }
	bool operator != (const bign& b) const { return b < *this || *this < b;}
	bool operator == (const bign& b) const { return !(b != *this); }
    
	bign operator + (const bign& c);
	bign operator * (const bign& c);
	bign operator - (const bign& c);
	int  operator / (const bign& c);
	bign operator / (int k);
	bign operator % (const bign &c);
	int  operator % (int k);
	void operator ++ ();
	bool operator -- ();
};

const int N = 22;
int node[N][N];
bign ans[N][N];

bign C(int x, int y) {
	y = min(y, x - y);
	bign c = 1, d;
	for (int i = 0; i < y; i++) {
		d = x - i;
		c = c * d;
		c = c / (i + 1);
	}

	return c;
}

void solve(int x, int y) {

	ans[x][y] = 1;
	int m = node[x][y - 1];
	for (int i = 0; i < x; i++) {
		ans[x][y] = ans[x][y] * C(node[x][y] - i * m - 1, m) * ans[x][y - 1];
	}
}

void init() {
	for (int i = 1; i <= 21; i++)
		ans[1][i] = 1;
	
	for (int i = 2; i <= 21; i++) {
		int top = 21 / i;
		ans[i][0] = node[i][0] = 1;
		node[i][0] = 1;
		for (int j = 1; j <= top; j++) {
			node[i][j] = node[i][j - 1] * i + 1;
			solve(i, j);
		}
	}
}

int main () {
	init();

	int k, d;
	while (scanf("%d%d", &k, &d) == 2) {
		ans[k][d].put();
		printf("\n");
	}
	/*
	int a, b;
	while (scanf("%d%d", &a, &b) == 2) {
		bign t = C(a, b);
		t.put();
		printf("!\n");
	}
	*/
	return 0;
}

bign bign::operator = (char *num) {
	init();
	s[0] = strlen(num);
	for (int i = 1; i <= s[0]; i++)
		s[i] = num[s[0] - i] - '0';
	return *this;
}

bign bign::operator = (int num) {
	char str[MAXSIZE];
	sprintf(str, "%d", num);
	return *this = str;
}

bool bign::operator < (const bign& b) const {
	if (s[0] != b.s[0])
		return s[0] < b.s[0];
	for (int i = s[0]; i; i--)
		if (s[i] != b.s[i])
			return s[i] < b.s[i];
	return false;
}

bign bign::operator + (const bign& c) {
	int sum = 0;
	bign ans;
	ans.s[0] = max(s[0], c.s[0]);

	for (int i = 1; i <= ans.s[0]; i++) {
		if (i <= s[0]) sum += s[i];
		if (i <= c.s[0]) sum += c.s[i];
		ans.s[i] = sum % 10;
		sum /= 10;
	}
	return ans;
}

bign bign::operator * (const bign& c) {
	bign ans;
	ans.s[0] = 0; 

	for (int i = 1; i <= c.s[0]; i++){  
		int g = 0;  

		for (int j = 1; j <= s[0]; j++){  
			int x = s[j] * c.s[i] + g + ans.s[i + j - 1];  
			ans.s[i + j - 1] = x % 10;  
			g = x / 10;  
		}  
		int t = i + s[0] - 1;

		while (g){  
			++t;
			g += ans.s[t];
			ans.s[t] = g % 10;
			g = g / 10;  
		}  

		ans.s[0] = max(ans.s[0], t);
	}  
	ans.del();
	return ans;
}

bign bign::operator - (const bign& c) {
	bign ans = *this;
	for (int i = 1; i <= c.s[0]; i++) {
		if (ans.s[i] < c.s[i]) {
			ans.s[i] += 10;
			ans.s[i + 1]--;;
		}
		ans.s[i] -= c.s[i];
	}

	for (int i = 1; i <= ans.s[0]; i++) {
		if (ans.s[i] < 0) {
			ans.s[i] += 10;
			ans.s[i + 1]--;
		}
	}

	ans.del();
	return ans;
}

int bign::operator / (const bign& c) {
	int ans = 0;
	bign d = *this;
	while (d >= c) {
		d = d - c;
		ans++;
	}
	return ans;
}

bign bign::operator / (int k) {
	bign ans; 
	ans.s[0] = s[0];
	int num = 0;  
	for (int i = s[0]; i; i--) {  
		num = num * 10 + s[i];  
		ans.s[i] = num / k;  
		num = num % k;  
	}  
	ans.del();
	return ans;
}

int bign:: operator % (int k){  
	int sum = 0;  
	for (int i = s[0]; i; i--){  
		sum = sum * 10 + s[i];  
		sum = sum % k;  
	}  
	return sum;  
} 

bign bign::operator % (const bign &c) {
	bign now = *this;
	while (now >= c) {
		now = now - c;
		now.del();
	}
	return now;
}

void bign::operator ++ () {
	s[1]++;
	for (int i = 1; s[i] == 10; i++) {
		s[i] = 0;
		s[i + 1]++;
		s[0] = max(s[0], i + 1);
	}
}

bool bign::operator -- () {
	del();
	if (s[0] == 1 && s[1] == 0) return false;

	int i;
	for (i = 1; s[i] == 0; i++)
		s[i] = 9;
	s[i]--;
	del();
	return true;
}

void bign::put() {
	if (s[0] == 0)
		printf("0");
	else
		for (int i = s[0]; i; i--)
			printf("%d", s[i]);
}

bign bign::mul(int d) {
	s[0] += d;
	for (int i = s[0]; i > d; i--)
		s[i] = s[i - d];
	for (int i = d; i; i--)
		s[i] = 0;
	return *this;
}

void bign::del() {
	while (s[s[0]] == 0) {
		s[0]--;
		if (s[0] == 0) break;
	}
}


### 基于分布匹配的主动标注方法 在机器学习领域,基于分布匹配的主动标注(Distribution Matching Based Active Labeling, DMAL)是一种旨在通过最小化源域和目标域之间的差异来提高模型泛化能力的技术。该方法特别适用于跨域适应场景,在这些场景中,训练数据和测试数据可能来自不同的分布。 #### 方法概述 DMAL的核心理念在于选择那些能够使源域和目标域特征空间尽可能相似的样本进行人工标注。具体来说: - **初始阶段**:从大量未标记的目标域数据集中随机选取一部分作为种子集合,并对其进行人工标注。 - **迭代过程**:利用已有的带标签数据训练一个分类器;接着计算剩余无标签数据与当前已有标签数据之间分布的距离度量;最后挑选出使得两个分布最接近的一批样本来请求专家标注[^1]。 #### 实现细节 为了实现上述流程中的关键环节——即如何衡量不同分布间的距离并据此选择最优样本,研究者们提出了多种策略和技术手段: - **最大均值差异(Maximum Mean Discrepancy, MMD)**:这是一种广泛使用的核方法,用来量化两组样本所属概率密度函数间差距大小的一种统计工具。MMD能够在不需要显式估计任何参数的情况下比较任意复杂形式的概率分布[^2]。 - **对抗网络(Adversarial Networks)**:近年来兴起的一个热门方向是采用生成对抗网络(GANs)框架下的判别器部分充当二元分类器的角色,以此评估真假样本混合体内部结构特性上的异同程度。这种方法不仅限定了理论边界而且提供了更加灵活有效的解决方案[^3]。 ```python import numpy as np from sklearn.metrics import pairwise_distances_argmin_min def distribution_matching_active_labeling(X_unlabeled, X_labeled): """ Select samples from unlabeled set that minimize the distance between distributions. Args: X_unlabeled (numpy.ndarray): Unlabeled data points. X_labeled (numpy.ndarray): Labeled data points. Returns: list: Indices of selected samples to be labeled next. """ distances = pairwise_distances_argmin_min
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