【学习总结】数学-cayley定理

定义：

有n个标志节点的树的数目等于nn−2(仅是cayley在组合数学中的应用)

简单证明：

1.首先我们假设n为4，即有3个节点
2.这样的话我们就有k个子树，此时k=3

(图1)

3.选中其中一个节点C(1n),然后x 再选中不含该节点的一个子树C(1k−1),让这颗子树的根连接到该节点上，这样的话子树就减少了一棵

(图2)

(图3)

等。。。

4.重复操作直到k=1，k从n变成1总共执行了n-1次，所以根据乘法原理，构造出的有确定根节点的树有ans=nn−1∗(n−1)!
5.但是对于一棵树来说，它又n-1条边，每条边被选中先后的顺序有(n−1)!种，但是对于树来说，边的先后关系是无关紧要的，所以ans=ans(n−1)!=nn−1

(图4)

(图5)

6.对于每个树来说，构造树时有确定根节点，每一个树可以将该树中的n个节点均做为根节点，于是乎ans=ansn=nn−2

(图6)

(图7)

(图8)