45、图灵机扩展与上下文相关文法探索

图灵机扩展与上下文相关文法探索

1. 多带图灵机相关证明

在多带图灵机（mttm）的研究中，有一个重要的问题是判断语言 (L = {w | w \text{ 中 } a, b, c \text{ 的数量相等}})。这里通过证明 (L(EQABC) = L) 来解决这个问题，证明过程分为两个引理。

1.1 引理 1：(w \in L \Leftrightarrow w \in L(EQABC))

• 右推左（(\Rightarrow)） ：假设 (w \in L)，这意味着 (w) 中 (a, b, c) 的数量相等。由于不变式始终成立，存在一个计算过程，它将所有的 (a, b, c) 分别复制到磁带 1 - 3，匹配磁带 1 - 3 上的所有元素，并转移到状态 (Y)。因此，(w \in L(EQABC))。
• 左推右（(\Leftarrow)） ：假设 (w \in L(EQABC))，这表示存在一个计算过程消耗 (w) 并在状态 (Y) 停止。因为不变式始终成立，所以 (w) 中 (a, b, c) 的数量相等。因此，(w \in L)。

1.2 引理 2：(w \notin L \Leftrightarrow w \notin L(EQABC))

• 右推左（(\Rightarrow)） ：假设 (w \notin L)，即 (w) 中 (a, b, c) 的数量不相等。由于不变式始终成立，存在一个计算过程，它将所有的 (a, b, c) 分别复制到磁带 1