11、可构造函数与图灵机模拟

可构造函数与图灵机模拟

1. 可构造函数基础

1.1 可构造函数定义

可构造函数在复杂度理论中有着重要的地位。函数的可构造性分为空间可构造性和时间可构造性。
- 空间可构造函数 ：若存在一个 $S(n)$ 空间有界的图灵机 $M$，使得对于每个 $n$，都存在某个长度为 $n$ 的输入，$M$ 在该输入上恰好使用 $S(n)$ 个单元格，则称函数 $S(n)$ 是空间可构造的。若对于所有长度为 $n$ 的输入，$M$ 都恰好使用 $S(n)$ 个单元格，则称 $S(n)$ 是完全空间可构造的。
- 时间可构造函数 ：若存在一个 $T(n)$ 时间有界的图灵机 $M$，使得对于每个 $n$，都存在某个长度为 $n$ 的输入，$M$ 在该输入上恰好运行 $T(n)$ 步，则称函数 $T(n)$ 是时间可构造的。若对于所有长度为 $n$ 的输入，$M$ 都恰好运行 $T(n)$ 步，则称 $T(n)$ 是完全时间可构造的。

1.2 常见可构造函数

以下是一些常见的可构造函数：
- 空间可构造函数 ：$\log(n)$、$n^k$、$2^n$ 和 $n!$ 都是空间可构造的。
- 时间可构造函数 ：除了 $\log n$ 外，上述函数也都是时间可构造的。

1.3 可构造函数的运算性质

可构造函数具有一些运算性质：
- 空间可构造函数的运算 ：若 $S_1(n)$ 和 $S_2(n)