24、图灵机理论与形式语言

图灵机理论与形式语言

1. 图灵机基础

图灵机由A.M.图灵在1936年提出，它是任何可能组合的模型，当今计算机能执行的任何计算过程都可以在图灵机上完成。图灵机是无限制语言的机器形式，即所有类型的语言都能被图灵机接受。不过，一些不确定问题无法通过计算机解决，因为无法为这些问题开发出相应的图灵机。

图灵机的数学描述由7元组 $(Q, Σ, Γ, δ, q_0, B, F)$ 组成：
- $Q$：有限状态集
- $Σ$：有限输入字母表
- $Γ$：有限允许磁带符号集
- $δ$：转移函数
- $q_0$：初始状态
- $B$：空白符号
- $F$：最终状态

图灵机的转移函数形式为 $Q × Γ → (Q × Γ × {L, R, H})$，即从一个状态接收输入带上的一个输入后，机器会转移到一个新状态，在带上写入一个符号，并向左、向右移动或停止。

图灵机的机械图由输入带、有限控制器和读写头组成。执行转移函数时，机器会进入某个状态，在扫描输入符号的单元格中写入一个符号，并将读写头向左、向右移动或停止。图灵机的瞬时描述（ID）会记录从最右边到至少最左边所有单元格的内容、当前被读写头扫描的单元格以及机器在给定时刻的状态。

2. 图灵机的图形表示

图灵机的数学表示为 $(Q, Σ, Γ, d, q_0, B, F)$。在图形表示中，有多个状态。其中，带箭头的圆圈表示起始状态，双圆圈表示最终状态，机器最终会在最终状态停止。状态转移用箭头表示，状态转移的标签包含输入符号、遍历后写在带上的符号以及读写头的移动方向（左、右或停止）。

3. 特定语言