基于移动充电器的无线传感器网络联合充电路径规划与充电站定位
摘要
无线能量传输技术的最新突破使得无线传感器网络 （WSN）能够通过使用移动能量充电器（MC）实现零停机运行，MC会定期为传感器节点补充能量。由于MC的电池容量有限，在大规模网络中需要大量MC和充电站以确保持续运行。现有方法在减少MC和充电站数量时，通常将充电路径规划与充电站定位问题分开处理，尽管二者相互关联。本文首次针对大规模 WSN联合考虑充电路径规划与MC充电站定位问题。所提出的方法通过以下三个阶段解决该问题：充电路径规划、候选充电站识别与缩减、以及充电站部署与充电路径分配。所提出的充电方案还考虑了MC充电周期与传感器节点运行寿命之间的关联，以最大化MC的能量效率。这克服了现有方法的局限性：电池容量小的MC对传感器节点充电过于频繁，而电池容量大的MC则在未完全向传感器节点传输能量前便返回充电站进行能量补给。与现有方法相比，所提出的方法平均减少了64%的MC数量，并使总充电时间与总行驶时间之比平均提升了19.7倍。
索引术语
无线传感器网络，移动充电器，路径规划，移动充电仓库定位，能量效率，联合设计。
I. 引言
传统无线传感器网络（WSNs）中的传感器节点通常由电池供电，因此其能量资源有限。当无线传感器网络中某些传感器的运行寿命因电池能量耗尽而终止时，由于来自某些感知区域的数据不再可用，网络将变得碎片化。因此，能量效率已成为无线传感器网络中的一个基本设计目标，因为无线传感器网络的性能受到严重制约由于电池供电的传感器节点能量资源有限。
许多针对无线传感器网络的能量守恒解决方案已被报道[1], ，例如高效的无线通信技术 [2],、动态路由技术 [3],[4],、高效的多播树构建 [5],[6],、移动数据收集[7]– [9],以及低功耗硬件架构[10]。尽管这些方案能够延长无线传感器网络的运行寿命，但无法保证零停机的持续运行。
也有研究提出了利用能量采集技术的方法[11],[12], ，通过机械、热能、光伏或电磁能量传输，使传感器节点能够利用环境中的环境能量进行重新充电。该能量采集技术可使传感器在需要时获取可再生能源，但由于能量重新充电受环境条件影响，导致电源供应存在高不确定性。能量采集的低效率和动态性给协议设计带来了显著困难，从而导致网络性能不确定。
基于磁共振耦合的无线能量传输技术的最新突破为未来无线传感器网络中的持续感知、通信和计算提供了有前景的解决方案。该技术利用在相同共振频率下工作的磁共振线圈，通过无线方式将能量从源线圈传输到接收线圈 [13]。中距离非辐射能量传输的潜力也已得到证实，在超过2米的距离上能量传输效率高达40%。这项新技术不受周围环境动态变化的影响，并且不需要充电和接收设备之间具有视距（LOS）条件（全向）[14]。为了充分利用这一新兴技术，近期研究[15]–[19]提出了使用配备高性能收发器和高容量电池的移动充电器（MC），在传感器节点耗尽能量之前为其补充能量。移动充电器（MC）在充电巡回中周期性地行驶于网络中，短暂停留在每个节点处，通过耦合磁共振将其充电至最大电池容量，然后返回充电站以补充自身能量，再执行下一次充电巡回。
尽管使用移动充电器进行无线能量传输已被证明在小规模网络中效果良好，但对于相对较大的大规模网络[20]，单个移动充电器不足以服务所有传感器。这是由于移动充电器可能无法携带足够的能量来为大型网络中的每个传感器充电，或者某个传感器的运行寿命无法持续到移动充电器在再次返回该传感器之前完成对所有其他传感器的充电。此外，由于移动充电器需要返回充电站进行能量补给，其大部分能量将消耗在行驶能耗上，导致留给距离充电站过远的传感器的充电能量极少甚至耗尽。在这种情况下，必须部署多个充电站，不仅是为了保证网络的持续运行，也是为了提高整体能量效率。
我们的工作旨在设计高效的可充电WSN中利用MC实现持续运行的技术，目标是最小化所需MCs的数量并提高MCs的能量效率。后者通过最大化充电时间与行驶能耗时间的比率来实现。我们提出了新颖的周期性充电算法，该算法联合考虑了充电路径规划和MC仓库定位。所提出的算法包括以下三个阶段：1）充电路径规划，2）候选充电站识别与缩减，3）充电站部署与充电路径分配。与以往的研究不同，所提出的算法考虑了MC的充电周期与其对应传感器节点运行寿命之间的关联关系。具体而言，为了保证连续运行，MC的充电周期应小于或等于传感器节点的运行寿命。我们针对两种场景设计了高效的移动充电方案：1）电池容量B较小的MC，2）电池容量B较大的MC。
本文的贡献可以总结如下：
1) 提出了一种新颖的周期性移动充电方法，旨在最小化大规模可充电无线传感器网络中所需的移动充电器数量，并提高其能量效率。据我们所知，这是首个同时考虑充电路径规划和充电站定位的研究工作。
2) 据我们所知，我们提出的周期性充电方案是首次考虑移动充电器充电周期与传感器节点运行寿命之间关联的方案。为实现这一目标，我们从充电周期和能量消耗两个方面对移动充电路线进行表征。我们证明了所提出的方案在两种场景下均能在能量效率与所需移动充电器/电站数量之间实现良好的权衡，即当移动充电器具有大电池容量和小电池容量时。
3) 对于具有大电池容量的移动充电器，我们提出了一种周期性充电方案，该方案限制每个移动充电器仅服务一条充电巡回路径，但允许其在返回充电站进行能量补给之前，对该路径上的传感器节点进行多次重复充电。这克服了现有方法中存在的局限性，即具有大电池容量的移动充电器在未将能量完全转移给传感器节点之前就返回充电站补给自身能量，导致能量利用效率低下。
4) 我们将所提出的针对小电池容量MC的周期性充电方案进行扩展，允许每个MC服务多条充电路径，以最大化充电时间与行驶能耗时间的比率。具体而言，MC将在一条路径中花费更长时间为传感器节点重新充电。当MC完成对某条路径中传感器节点的充电后，将返回充电站并服务另一条路径。这克服了现有方法的局限性：低电池容量的MC在特定路径中为每个传感器节点充电的时间较短，但需要频繁往返，导致能量利用率低下。
5) 我们提供了广泛的实验结果，以证明所提出的充电方案的有效性，该方案不仅实现了具有高网络效用的无线传感器网络的持续运行，而且在能量效率方面带来了显著改进。
本文的其余部分组织如下。第二节回顾了一些相关工作。第三节介绍了背景知识，并对充电路线的能量容量和寿命约束进行了建模。第四节提出了针对使用大电池容量 B的多个移动充电器MCs的三阶段方法，第五节将该方法扩展到使用小电池容量B的多个移动充电器MCs的情况。第六节评估了所提出方案的性能，第七节总结了全文。
II. 相关工作
在本节中，我们简要回顾一些关于可充电无线传感器网络能量补给的相关工作。许多现有研究聚焦于能量采集技术，通过提取环境能量（例如太阳能、风能、振动）来补充传感器节点的能量。尽管现有能量采集技术[22]–[24]在实现无线传感器网络持续运行方面展现出潜力，但由于这些方法依赖于环境条件，难以直接应用于实际场景。这是因为环境源提供的能量可用性存在不确定性，给开发可靠且节能的电源管理解决方案带来了严峻挑战。近年来，利用在网络中行驶的移动充电器（MCs），通过强耦合磁共振[13]或射频（RF）信号[25]为传感器节点补充能量，引起了广泛关注。本文重点研究基于可靠能量源的能量补给方案，即配备充电装置的移动充电器，以实现无线传感器网络的持续运行。
大多数已报道的方法采用优化算法来解决无线充电问题。单个移动充电器足以满足小规模无线传感器网络的需求，而多个由于移动充电器能量容量和传感器电池的限制，大规模无线传感器网络（WSNs）需要使用移动充电器。此类移动充电系统的原型已在[17]中实现。通常，充电方法分为两种类型：周期性充电 [15]–[19] 和按需充电 [26]–[28]。前者定期派遣移动充电器对传感器网络进行充电巡回以为传感器节点充电，而后者仅在接收到传感器的请求时才启动充电路径。
早期研究 [16],[17] 集中于采用配备高性能收发器和高容量电池的移动充电器（MC）来周期性地为传感器节点补充能量的周期性充电策略。通常，该移动充电器在无线传感器网络（WSN）中周期性行驶，并在每个节点附近短暂停留以进行充电。Zhang et al.[29] 采用多个能量受限的移动充电器（MCs），旨在最大化有效负载能量与开销能量的比值。然而，他们的研究仅聚焦于一维（1D）无线传感器网络（WSNs）。Dai et al.[20] 将该问题扩展到二维（2D）无线传感器网络，并研究了最少数量的能量受限移动充电器（MCs）。由于该项工作旨在保证最坏情况下的性能比，其平均性能远非最优。Hu 和 Wang [21] 研究了最小化移动充电器数量的问题，以确保每个传感器节点能够持续运行。由于生成的充电路线具有不同的充电周期，因此必须精心设计充电调度，以避免在充电站对多个移动充电器同时充电时发生冲突。
第二种方法，即按需充电，在多个移动充电器的调度与协调方面面临重大挑战，以实现高充电效率。这是因为移动充电器轨迹无法进行全局规划，因为充电过程依赖于传感器能耗的动态变化。Madhja et al.[30]在其研究中解决了两个主要问题：什么是适合移动充电器的良好协调机制和良好轨迹。然而，他们仅针对单个充电周期的问题进行了研究，未考虑移动充电器可反复返回其充电站进行能量补给的情况。[31]中的研究考虑了多个移动充电器的协调问题，目标是最小化多个移动充电器的总行驶成本，同时确保没有节点失效。在该研究中，移动充电器可以返回各自的充电站进行能量补给。[32]中的研究将按需充电问题建模为调度移动充电车辆为网络中的生命关键传感器充电的问题，目标是在满足每辆移动充电车辆能量容量约束的前提下，最小化部署的移动充电车辆数量。此外，[33]中的研究并未假设移动充电器必须将一个传感器完全充满电后才能前往下一个传感器，而是假设每个传感器可以部分充电，这使得移动充电器在自身能量耗尽前能够为更多的传感器充电。
尽管现有的按需充电方法相比周期性充电方法能更好地适应传感器能耗的变化，但它们不可避免地需要大量移动充电器来应对最坏情况，即所有传感器都请求充电时的情况。另一方面，通过合理的充电路径规划和调度，周期性充电方法可以显著减少所需的移动充电器数量。此外，周期性充电方案可被视为按需充电所需资源（例如移动充电器）的下限。然而，现有的实现方法存在能量效率低下的问题。
本文重点研究高效的周期性充电规划方法，综合考虑移动充电器充电周期与传感器节点运行寿命之间的关联。我们的方法还联合考虑了充电路径规划与充电站定位，这将在第三节(C)中详细讨论。
上述大多数现有方法假设，一个移动充电器一次只能为单个传感器充电，且不允许在移动充电器之间或传感器之间进行能量传输。也存在许多采用了新型充电模型假设的研究：（1）[14]和[34]中的方法允许同时向多个接收节点传输能量，（2）[35]和[36]中的方法假设支持多跳无线充电（传感器节点可以将能量中继给其邻居），（3）[37]中的研究假设移动充电器之间可以有意地相互转移能量。然而，这些新的充电模型显著增加了无线传感器网络的硬件开销，并降低了整体能量效率。这是因为，同时为多个节点充电需要移动充电器配备复杂的能量传输设备。此外，多跳无线充电要求每个中继节点都配备充电设备，而间接的能量传输会导致较高的能量损耗。因此，为了限制硬件开销和无线能量传输的损耗，我们假设每个移动充电器只能通过单跳（直接）无线能量传输一次为一个传感器充电。
还存在许多同时考虑移动数据收集和能量补给的工作。Guo et al.[38]提出了高效的方案，其中路由和充电过程被联合执行。此外，移动充电器（MCs）不仅被用作为传感器节点充电的能量发射器，还被用作数据收集器以最大化网络生命周期。他们的方案考虑了传感器的数据速率、链路调度和流路由，以及各种能量消耗来源[39]–[42]。另一方面，Deng et al.[43]通过解决时空耦合链路和电池容量约束问题，联合考虑了采样率和电池电量，以最大化静态路由可充电传感器网络的网络效用。文献[44]提出了一种针对使用具有给定充电容量的移动充电器的可充电传感器网络的联合能量补给与运行（激活/休眠）调度机制，旨在在满足严格感知保障的前提下最大化网络生命周期。然而，Liang et al.[27]认为传感器能量充电和数据收集应被分开考虑，以便数据收集协议设计者可以专注于为特定应用调度移动数据收集器或路由协议功能，而无需考虑能量充电约束。本文聚焦于使用移动充电器（MCs）进行能量补给，而非将其与数据收集问题联合考虑。
III. 网络模型与充电方案
本文中使用的重要符号列于表I。
A. 网络模型
图1展示了我们工作中使用的网络模型。我们考虑分布在二维区域上的 n个静止传感器节点，其中第 i个节点记为 s i，位于(xi , yi)。每个传感器节点由能量容量为 E max的可充电电池供电，并且需要至少E min的能量才能正常运行。每个节点在数据感知、处理、接收和传输过程中消耗能量。与许多类似场景[45]–[47],一样，我们假设所有传感器节点的平均能耗率（记为 pw ）是恒定且相同的。我们的方法也可应用于具有异构能耗率的网络。将传感器划分为多个集合，使得同一集合内的传感器具有恒定且均匀的能量消耗速率。具体地，设 τi=(Emax−Emin) pi为传感器 si的寿命，其中 τ1 ≤ τ2 ≤ τ3 ≤ ··· ≤ τn。传感器被划分为 ξ+1个互不相交的子集V0, V1, ···, Vξ，其中ξ的计算公式为 log2 τn τ1 ，若传感器 si的寿命 τi满足2kτ1 ≤ τi< 2k+1τ1(k= log2 τi τ1) [48]，则其属于Vk。集合 Vk中传感器的充电周期设为 2kτ1。该划分策略可根据需要进行调整，例如 ξ= τn τ1 ，而当传感器 si的寿命 τi满足kτ1 ≤ τi<(k+ 1)τ1(k= τi τ1) 时，则其属于 Vk。
移动充电站既作为数据汇聚点，又作为网络的能量来源，通过周期性派遣移动充电器为传感器节点充电。移动充电器的充电路线从各自的电站出发，出发时处于满电状态；当移动充电器完成当前路径中传感器节点的充电后，将返回各自的电站补充能量（即为自己电池充电）。
B. 充电模型
我们假设每个移动充电器受其电池容量的限制，以不超过某一限值的速度移动，且充电时间不可忽略。我们假设移动充电器是同质的，即所有移动充电器具有相同的电池容量 B，行驶速度为 ν，单位时间行驶能耗为 pt，移动充电器停止并充电时的单位时间能耗为pc。移动充电器的电池容量用于行驶和无线充电。
与大多数先前工作通过一个恒定阈值限制每个移动充电器的充电巡回不同，我们从能量容量和充电周期的角度来描述充电巡回的约束条件。其中，移动充电器的充电周期记为 Ti，定义为一个充满电的移动充电器从充电站出发，到完成充电巡回并返回充电站后再次补给至满容量以准备下一次任务的时间段。假设P是为无线传感器网络中所有传感器节点进行充电的所有路径的集合。令 Pk(Pk ∈ P)表示第 k条充电巡回，该路径从其对应的充电站出发，恰好访问并为巡回中的每个传感器节点充电一次。形式上，设 Pk=< s0, s1,···, s|Sk |+1 >，其中s0= s|Sk |+1为充电站，Sk为 Pk中的传感器集合（不包括充电站 s0）。移动充电器需要花费 t k i 时间来为每个传感器si(si ∈ Sk)充电，并且每次任务在充电站至少需要 t 0时间。 P k的充电周期可计算为：
$$
T_k = t_0 + \sum_{s_i \in S_k} t^k_i + \sum_{i=0}^{|S_k|} \frac{dist(s_i, s_{i+1})}{\nu}, (Pk \in P) \quad (1)
$$
其中 dist(si , s i+1) 是节点 si 和 si+1 之间的距离， ν 是 MC 的行驶速度。
设 pr(pr > pw)为移动充电器（MC）在充电过程中的能量传输速率。为了确保每个传感器节点保持连续运行，并且移动充电器的充电成本最小化，应保证每个传感器节点的可再生能源周期为[14]。因此，对于每个传感器节点 si(si ∈ Sk)，我们有以下方程：
$$
pw \times Tk = tik \times pr, (si \in Sk) \quad (2)
$$
关于可再生能源周期的更多细节，我们建议读者参考[34]。
由于移动充电器需要处理不同的充电路线（传感器数量和路径长度不同），移动充电器通常具有不同的充电周期，即归属于不同移动充电器的传感器之间的充电时间不相等。[29]中的充电方案要求所有移动充电器具有统一的调度周期。这意味着完成充电巡回较快的移动充电器必须在充电站等待一段时间后才能开始下一次行程。在这种情况下，充电周期可按如下方式计算：
$$
Tk = t0 + \sum_{si \in Sk} tik + \sum_{i=0}^{|Sk|} \frac{dist(si, si+1)}{\nu} + tk, (Pk \in P) \quad (3)
$$
其中 tk是第 k次充电巡回在充电站的等待时间，Tk可预先定义。通过添加 tk，为传感器充电的时间 tik也会改变，而 t0和行驶时间保持不变。在本研究中，为了便于管理充电路线，我们还要求所有移动充电器具有统一充电周期，该周期被设置为所获得路径中的最大充电周期，并通过合理设置 tk实现。有关此问题的方法，读者可参考文献[16]。
根据公式(1)和(2)，我们可以推导出以下结论：
$$
tik = \frac{pw}{pr} \cdot Tk, (Pk \in P, si \in Sk) \quad (4)
$$
$$
Tk = \frac{pr}{pr - pw} \times |Sk| \cdot Len(Pk) + \nu \cdot t0, (Pk \in P) \quad (5)
$$
其中， $Len(Pk) = \sum_{i=0}^{|Sk|} dist(si, si+1)$ 是路径Pk的长度，$|Sk|$ 是 Sk中的传感器数量。
如前所述，移动充电器（MC）在行驶路径和无线充电传感器节点时均需要消耗能量。因此，一个充电周期内的总能耗可计算如下：
$$
Ek = pt \cdot \frac{Len(Pk)}{\nu} + pc \cdot \sum_{s_i \in S_k} t^k_i, (Pk \in P) \quad (6)
$$
C. 动机示例
我们首先在介绍所提出的充电方案之前阐述两个动机示例。以往的研究假设每个传感器与充电站之间的距离上限由一个阈值限定，以确保在移动充电器因行驶速度和电池容量限制而耗尽能量之前，传感器节点能够被重新充电。然而，这一假设不适用于大规模无线传感器网络（ WSNs），因此应使用多个移动充电站。图2展示了一个示例，以说明采用多个充电站的优势。现有考虑多个充电站的研究假设充电站的位置是已知的[28],[48]。基于预定义的充电站位置，现有研究试图
为多个移动充电器规划路径或调度，以实现不同的目标，例如最小化行驶距离、最大化充电吞吐量等。据我们所知，我们的工作是首次同时考虑多个移动充电器的充电站选址和充电路径规划。
先前的研究在充电路径规划过程中也未能考虑移动充电器充电周期与传感器运行寿命（即传感器在电池完全耗尽前能够持续工作的时长）之间的关联。图3说明了在确定充电周期时，必须考虑移动充电器电池容量与传感器节点运行寿命之间的关系。传感器工作寿命被设定为固定值，即10260秒，而图3中带方形标记的蓝色虚线表示移动充电器的最大充电周期，该周期可以变化自
从1800秒（在充电站停留的时间）到21800秒，具体取决于移动充电器电池容量。带X标记的实线表示移动充电器可行的充电周期。可以看出，当移动充电器电池容量为 B ≤ a时（情况1），其可行充电周期受限于移动充电器所能支持的最大充电周期（其中 a为传感器工作寿命）。另一方面，当移动充电器电池容量为 B> a时（情况2），其可行充电周期与传感器的运行寿命相匹配。
如果移动充电器的电池容量较小，则其最大充电周期将小于传感器的运行寿命（即图3中的情况1）。由于移动充电器受限于较小的电池容量，每次只能在较短时间内为传感器充电，因此每条路径上能够传输给传感器的能量较少。这导致需要更频繁地为传感器充电，从而使移动充电器产生较高的能量低效，因为其大部分能量消耗在行驶能耗上而非充电过程。相反，如果移动充电器具有大电池容量，则其允许的最大充电周期将大于传感器的运行寿命（即图3中的情况2），此时可行的充电周期将取决于传感器的运行寿命。因此，当移动充电器的电池容量大于传感器节点的运行寿命时，移动充电器会在尚未完全将其能量传输给传感器节点之前便返回充电站进行补给，从而导致移动充电器电池容量的能量利用率较低。
上述观察表明，具有小电池容量和大电池容量的移动充电器必须采用不同的充电策略。在本文中，我们提出了新颖的充电方案以应对这两种情况。对于情况1，我们提出了一种允许每个移动充电器执行不同（多个）充电巡回的方案。通过这种方式，充电时间与行驶时间的比率被最大化，因为每个传感器几乎可以从空状态充电至其满容量。此外，由于一个移动充电器可以服务多条路径，所需移动充电器的数量将显著减少。对于情况2，每个移动充电器将在返回其电站补给自身能量之前，多次行驶其充电路径。这确保了移动充电器电池容量能更高效地用于为传感器节点充电。所提出的充电方案将联合考虑充电路径规划和电站定位。需要注意的是，我们的方法并非简单地试图最小化电站数量，因为这可能会由于补给路段比例增加而显著降低能量效率（如图2所示）。
所提出的充电方案包括以下三个主要阶段：
- 构造最少数量的无根充电路径，以最小化所需移动充电器的数量并最大化其能量效率。
- 识别并减少用于部署移动充电站的候选位置。
- 确定充电站的位置，并将充电路线/移动充电器分配给充电站，以最大化能量效率。
在接下来的章节中，我们首先提出三阶段方法来解决图3中情况2的问题（即移动充电器配备大容量电池，因此具有较长的最大充电周期），然后调整该方法以适用于情况1（即移动充电器配备小容量电池，因此具有较短的最大充电周期）。
基于移动充电器的无线传感器网络联合充电路径规划与充电站定位
IV. 大容量电池移动充电器的充电方案
在现有方法中，移动充电器的充电周期必须受限于传感器节点的运行寿命，否则无法保证传感器节点的持续运行。正如我们之前讨论的，这种限制导致了较低的能量效率。为了提高具有大电池容量的移动充电器的能量利用率，我们提出每个移动充电器在返回充电站进行能量补给之前，可多次访问其路径。通过这种方式，即使单次行程的时间短于传感器寿命，移动充电器的实际充电周期也可以远长于传感器节点的运行寿命。该方案旨在减少具有大电池容量的移动充电器返回充电站的频率，从而提高用于充电的能量与行驶能耗之间的比率。
A. 第一阶段：不考虑充电站的移动充电器充电路径规划
所提出的充电路径规划算法并未假设电站的位置已知。为了应对该阶段的路径规划问题，我们引入了一个新参数，即充电巡回的返回点到电站的最大允许距离 dist。
问题S1
：给定一组传感器 S（其参数为 pw、Emax和 Emin），其中所有传感器之间的距离构成集合上的一个度量，求所需最少充电路线数量（受限于移动充电器参数pr、 B、pt、pc、 t0、 dist），使得每个传感器被包含在一条路径中，每个移动充电器仅服务一条充电巡回，且任一传感器在被重新充电前不会耗尽能量。
$$
\text{Min } |P| \quad (7)
$$
受限于
$$
Tk + \frac{2 \cdot dist}{\nu} \leq \frac{Emax - Emin}{pw}, (\forall Pk \in P) \quad (8)
$$
$$
Ek + \frac{2 \cdot dist}{\nu} \cdot pt \leq B, (\forall Pk \in P) \quad (9)
$$
$$
Sk \cap S_j = \varnothing, (Pk, P_j \in P, k \neq j) \quad (10)
$$
$$
\bigcup_{P_k \in P} Sk = S \quad (11)
$$
其中，T_k是路径 P_k的总时间，包括充电时间和行驶时间，而 E_k是执行路径 P_k所需的总能量。约束(8)为移动充电器预留一定时间，以便返回充电站进行能量补给，而约束(9)则预留一定能量，即 $B_0 = pt \cdot \frac{2 \cdot dist}{\nu}$。约束(10)和(11)确保每个传感器恰好被包含在一条路径中。移动充电器在返回充电站前所执行的行程次数设为 $\left\lfloor \frac{B - B_0}{E_k} \right\rfloor$。
在我们所提出的算法中，首先在所有传感器上构建一棵以 root为根节点的最小生成树（MST）T。请注意任何位于网络中心附近的传感器都可以作为 root。然后将 T的叶节点插入队列 Q中。接下来，该算法通过在最小生成树MST T中寻找一个传感器节点子集来迭代确定充电路线，其中每个传感器节点子集构成一条充电巡回。每条充电巡回的起始节点 v被选为距离 root最远的节点。形式上，
$$
v \leftarrow \arg \max_{w \in Q} {dist(w, root)}. \quad (12)
$$
节点 v随后被视为一条初始（部分）路径，其路径长度为0，并从树 T中移除 v。如果 v的父节点 x在 T中成为叶节点，则将 x插入集合Q中。该算法随后通过将候选集 Q中的新节点移入当前路径Pk，反复扩展当前路径，直到违反能量或充电周期的约束。设 Sk为当前路径 Pk中的传感器集合。要加入Pk的最佳候选节点是距离集合 Sk最近的节点，该距离可计算为
$$
u \leftarrow \arg \min_{v \in Q} \left{ \sum_{w \in Sk} \frac{dist(v, w)}{|Sk|} \right}. \quad (13)
$$
如果生成的路径不违反传感器寿命和移动充电器能量容量的约束，则该算法可以成功将 u添加到路径Pk中，并将 u加入集合 Sk，同时从 Q和树 T中移除。此外，如果由于从 T中删除 u导致 u的父节点 x变为叶节点，则节点 x将被包含进 Q。如果在不违反传感器寿命或移动充电器能量容量约束的情况下无法包含 u，则将创建一条新路径。当 Q变为空时，算法终止。
图4展示了算法1的一个示例。图4（a）显示了最小生成树 T和当前路径 Q={3, 6}，其中3是距离根最远的节点 r。在图4（b）中，节点3从 Q被移入当前路径集合 Sk。由于节点3从 T中被删除，节点2成为叶节点，因此将节点2加入 Q。此时，节点2是加入当前路径集合 Sk的最佳候选节点。该过程在图4（c）至（e）中重复进行。在下一次迭代中，如图4（f）所示， Q={1}意味着节点1是唯一可以被移入 Sk 的候选节点。上述过程持续重复，直到当前路径违反传感器寿命或移动充电器能量容量的约束，或者没有更多未访问的节点为止。
使用Prim算法构造最小生成树 T的时间复杂度为 $O(n^2)$。接下来，在 T中寻找距离根最远的节点的时间复杂度为 $O(n)$并且最多重复 n次。算法1中while循环的目的是将传感器纳入移动充电器的充电巡回中，每次迭代尝试将一个传感器加入到一条移动路径中。大多数传感器节点在一次迭代后即可被包含进某条路径，而当生成的路径违反传感器寿命或移动充电器能量容量约束时，少数节点需要再次进行迭代。这类传感器的数量等于 $|P|$，其中 $|P| < n$是生成的路径数量。因此，while循环最多重复$O(n+ |P|) = O(n)$次。此外，在while循环的每一次迭代中，寻找最近节点的时间复杂度为 $O(n)$，而求解TSP问题的运行时间为 $O(\delta^2)$ [49],，其中 δ是任意一条路径中传感器节点的最大数量。因此，对所有路径求TSP解所需的时间为 $O(n \cdot \delta^2))$。因此，算法1的运行时间复杂度为$O(n^2)+ O(n \cdot(n+ \delta^2)) = O(n^2+ n \cdot \delta^2)$。注意，任何充电巡回中传感器节点的最大数量 δ受限于 $B/(Emax - Emin)$。
算法1 充电路径规划
输入：传感器集合S S，参数 Emax, Emin,pw B,pr,pc,pt, t0, ν 输出：最小数量的非根节点集合 P
充电路线 T ← Prim(S, root); /
最小生成树
/ 将所有叶节点放入队列 Q； k ← 0；
当 (Q≠ φ)时执行
k ← k+ 1;/
启用新路径
/
v ← arg max
w∈Q
{dist(w, root)};/
距离最远的节点
root
/ P0 ←< v>; Pk ← P0; Sk ←传感器集合S在 Pk中的集合；
T ← T −{v}; Q ← Q−{v};
如果 p成为叶节点，则将 v的父节点 p放入 Q中；
当 (路径 P0有效且 Q≠ φ) do
u ← arg min
v∈Q
{dist(v, Sk)};/
最近节点
/ P0 ← TSP(Sk ∪{v}) [49];
如果 (路径 P0是有效的) 则
Pk ← P0; Sk ← Sk ∪{u}; T ← T −{u}
节点集合
如果 p是叶节点，则将 u的父节点 p放入 Q中
P ← P ∪ Pk
B. 阶段2：识别并减少充电站的候选位置
在第二阶段，我们将确定一组最小的候选充电站位置。我们假设每个传感器的位置（或其附近区域）都适合部署移动充电器仓库，因此所有传感器的位置都被纳入初始候选集。值得注意的是，所提出的方法适用于任何给定的候选充电站位置集合。
设 D={d1 , d 2 ,···, d n} 为潜在移动充电站的候选位置集合。我们不对位置 d i 和充电站 d i 进行区分。用于确定并减少充电站候选位置的算法2如下所示。
1) 对于每个 di，我们创建一个集合 P(di)，该集合由充电站di能够服务的路径组成。也就是说，当且仅当存在至少一个路径段(u, v) (u, v ∈ Pk)，使得 dist(u,di) + dist(v, di) − dist(u, v) < dist时，路径 Pk ∈ P属于(di)。这意味着，如果移动充电器从点 u或 v返回充电站补给其电池容量B，则根据公式(8)，路径 Pk中的任何传感器都不会耗尽能量。
2) 在初始充电站候选位置中，若某个候选位置di所服务的所有路径均可由另一候选位置dj服务，则该候选位置可被移除，即 P(di) ⊆ 显然P(dj)，。算法2的步骤1)重复了 O( |P| · |D| · δ2)次，其中 δ是任意路径中传感器的最大数量。步骤2)的时间复杂度为 O(|D|^3)，因为它重复了|D|^2次，并且每次检查 P(di) ⊂P(dj)需要 O(|D|)。因此，算法2的时间复杂度为 O( |P| · |D| · δ+ |D|^3)。
C. 第三阶段：充电站部署与充电路径分配
为了确定为所有充电路线服务所需的移动充电站数量，我们构建了一个优化问题，该问题必须满足以下条件：1）每条充电路线至少有一个移动充电站；2）每条充电路线只能分配到一个充电站。此外，我们考虑了两种场景：充电站无容量限制（无容量限制）和有容量限制（有容量限制）。有容量限制的充电站在每个充电周期内只能为一定数量的移动充电器提供服务，而无容量限制的充电站则可在每个充电周期内为任意数量的移动充电器提供服务。在本文中，无容量限制的充电站表示这些充电站可能是异构的（即，一个充电站可根据需要配备任意数量的充电桩），而每个有容量限制的充电站最多只能服务于给定数量的充电路线。
1) 无容量限制的充电站：
问题 ：给定一组充电路线 P和一组候选充电站位置 D，在服务能力无限制的情况下，找到部署充电站所需的最小数量的位置，并将充电路线分配给选定的充电站，使得每条充电路线仅由一个移动充电仓库服务，且不违反能量和运行寿命约束。
令二进制变量 x_i = 1，如果位置 d_i被选为移动充电器仓库，则取值为 x_i = 0，否则为y_j,i = 1。令二进制变量表示充电巡回 P_j是否分配给充电站 d_i ，若是则取值为y_j,i = 0，否则为0。形式化地，
$$
\text{Min } \sum_{i=1}^{|D|} x_i \quad (14)
$$
受限于
$$
y_{j,i} \leq x_i, (\forall P_j \in P, d_i \in D) \quad (15)
$$
$$
\sum_{i=1}^{|D|} y_{j,i} = 1, (\forall P_j \in P) \quad (16)
$$
$$
x_i, y_{j,i} \in {0, 1}, (\forall P_j \in P, d_i \in D) \quad (17)
$$
约束条件(15)确保如果任何充电巡回选择某个充电站作为其指定电站，则必须部署该移动充电仓库。
约束条件(16)确保每条充电巡回只能分配给一个充电站。由于上述二元线性规划问题为NP难问题，我们设计了一种具有多项式时间复杂度的启发式算法。候选位置D的缩减集 di(di ∈ D)以及每个 di的潜在充电路径集合可在表 II中表示。
由于充电站是无容量限制的，每当选择一个充电站di时，我们可以假设 P(di)中的任何充电巡回都已被覆盖 （至少分配给一个充电站），即使由于负载均衡或能量效率的考虑，路径Pj(Pj ∈ P(di))不一定被分配给充电站 di。换句话说，贪心选择方式始终可以为无容量限制的充电站部署产生可行解。我们的贪心算法包括两个阶段：1）贪心列选择；2）充电巡回的贪心分配。第一阶段选择最少列数，使得每行之和大于或等于1，这表示该充电巡回可由至少一个充电站服务。然后在第二阶段，将每个充电巡回分配给一个合适的充电站。
在第一阶段，对于每一列，我们将所有元素相加，其和称为该列的权重。该权重表示充电站 di能够覆盖的充电路线数量，权重越高，表明该充电站的覆盖能力/服务性越强。然后我们选择权重最大的列，并移除该列以及被此列覆盖的行。接着，对剩余的列和行重新更新权重，并选择下一个权重最大的列。此过程重复进行，直到所有行都被移除，这意味着所有充电路线都至少可以被一个充电站服务。最后，这些被选中的列即为应部署的充电站的位置。
在第二阶段，我们将充电路线分配给充电站，同时考虑到充电站/服务能力不是连续的，而是离散值。例如，一个具有 x个充电桩的充电站最多可服务x · Y条路径（假设每个充电桩最多可服务 Y条路径）。归属于充电站d_i的充电路线数量，记为 Load(di)，用于表示该充电站的负载。期望 Load(di)的形式为 x· Y。因此，当一条路径P_j 可由多个充电站服务时，需要优先级机制来选择最佳充电站。假设路径 P_j 可由充电站 d_i 覆盖，其当前负载为 Load(di) ，则使用 $w_i = (Y - Load(di) \% Y) \% Y$来表示 d_i 被选为 P_j 的充电站的优先级。在此阶段，在所有充电路线中，应当首先考虑的是具有最小$|D(P_j)|$的路径，其中 D(P_j)是能够服务 P_j的充电站集合，因为 P_j被充电站覆盖的机会最少。在为P_j分配充电站时，将从 P_j的所有候选充电站中选择优先级最高的充电站。如果两个充电站的优先级相同，则将 P_j分配给距离最近的充电站。
算法3 部署无容量限制的仓库
输入：路径集合 P，充电站集合 D, P(di)， D(Pj)。
输出：最终的充电站位置 D′，路径分配到充电站。
步骤1: 贪心列选择。
P_temp ← P; D_temp ← D; D′= φ;
当(P_temp ≠ φ)时
D_max ←arg max
Di∈D_temp
{|Di|}; remove D_max from
D_temp;
D′ ← D′ ∪{depot(D_max)}
对于 每个 P_j ∈ D_max 执行
从 P_temp 中移除 P_j；
根据 {v2} 更新每个 Di ∈ D_temp 根据 P_temp;
步骤 2： 充电路径分配。
P_temp ← P；
当(P_temp ≠ φ)时执行
P_j ←arg min P_j ∈P_temp { |DP(P_j)| }
d_i ←arg max
dk∈DP(P_j)
{(Y − Load(di)%Y)%Y}
将P_j分配给 di；更新 Load(di)；
从 P_temp 中移除 P_j
通过以下方式可以容易地证明算法3的近似比：将该问题转化为集合覆盖问题。对于给定的充电路线集合 P、充电站集合 D以及 P(di)对应的 1 ≤ i ≤ |D|，我们构建一个包含 |P| 个元素的全集 U，其中每个元素对应 P中的一条路径，并创建 |D| 个子集 U1, U2,…,{v16>，使得子集Ui(1 ≤ i ≤ |D|)包含对应于 P(di)中充电巡回的元素。因此，容易验证，我们的问题存在可行解当且仅当所得到的集合覆盖问题存在相应的解。此外，我们的列选择算法采用了与求解[50]中集合覆盖问题的贪心算法相同的贪心策略。因此，我们的列选择算法能够保证性能比为 H( |D_max|)，其中D_max= arg maxP_j ∈ P{|D(P_j)|} ， H是调和函数，定义为 H(a) =∑ a i=1 1/i。
算法3的时间复杂度推导如下。在贪心列选择的 while循环的每次迭代中，寻找覆盖能力最大的充电站的时间为 O(|D|)，for循环的时间为 O(|P|)，更新操作的时间为 O(|D| · |P|)。因此，第一阶段的时间复杂度为 O( |D|^2 · |P|)。第二阶段的时间复杂度为O(|D|·|P|)。因此，算法3的时间复杂度为O( |D|^2 · |P|)。
2) 有容量限制的充电站：部署有容量限制的充电站和充电路径分配的问题可以表述为如下。
$$
\text{Min } \sum_{i=1}^{|D|} x_i \quad (18)
$$
约束条件
$$
y_{j,i} \leq x_i, (\forall P_j \in P, d_i \in D) \quad (19)
$$
$$
\sum_{i=1}^{|D|} y_{j,i} = 1, (\forall P_j \in P) \quad (20)
$$
$$
\sum_{P_j \in P} y_{j,i} \leq Y, (\forall d_i \in D) \quad (21)
$$
$$
x_i, y_{j,i} \in {0, 1}, (\forall P_j \in P, d_i \in D) \quad (22)
$$
其中约束(21)确保任何充电站服务的充电路线至多为 Y条。
对于部署有容量限制的充电站，我们不能简单地执行贪心列选择算法，因为某一列可能覆盖的充电路线数量超过其服务能力。因此，必须联合考虑列选择和充电路线分配。在所提出的算法中，采用了一种优先级机制来评估充电站和充电路线。
所提出的算法4的基本思想可总结如下。该算法首先确定具有最高优先级的充电路线，记为 P_j。然后，在所有能够覆盖P_j的候选车场中，选择优先级最高的一个作为 di的指定电站，记为 di。接着，根据充电路线的优先级，将更多来自 P(di)的充电路线分配给 di，直到di的容量达到上限，或 P(di)中不再存在未服务/未覆盖的路线为止，其中 P(di)表示可由充电站 di覆盖的路线集合。上述过程重复执行，直到所有充电路线都被分配至其对应的充电站。注意，算法4以原始的候选车场集合为输入，而不是通过算法2缩减后的集合。接下来，我们解释决定充电路线以及候选车场优先级的机制。
(1) 为充电站分配充电巡回的优先级确定如下。如前所述，|D(P_j)| 表示可作为 P_j 的充电站的候选充电站数量，因此较小的 |D(P_j)| 表明巡回 P_j 被覆盖的机会小于其他巡回。因此，具有最小 |D(P_j)| 的巡回P_j 将获得比其他巡回更高的优先级。
(2) 当为给定的充电巡回 P_j 选择充电站时，具有更高覆盖能力（即更大的 |P(di)|）的充电站将被优先考虑，因为它们倾向于最小化所需充电站的数量。此外，能够服务具有较小 |D(P_j)| 的充电路线的充电站也应被赋予更高的优先级，因为该路径被覆盖的可能性更小。基于上述分析，$w_i = \frac{|P(di)|^2}{\sum_{P_j \in P(di)} |D(P_j)|}$用于表示不同候选充电站的优先级，其中 $\sum_{P_j \in P(di)} |D(P_j)|$表示 P(di) 中所有充电路线的平均 |D({v39})| 。具有较大 w_i 的候选充电站将被视为更高优先级。
算法4的时间复杂度分析如下。在while循环之外，对每个充电站d_i 计算 w_i 的运行时间为 O(|P| · |D|)。在while循环内部，有四个操作被重复执行：1) 寻找P_j
算法4的时间复杂度为 O( |P|^2+ |D| · |P| + |D|^2) = O(|P|^2)，因为|D| ≤ |P|。
V. 小电池容量的移动充电器
与上一节类似，可以通过以下步骤获得充电路径规划方案：（1）使用算法1获取充电巡回，（2）使用算法2识别并优化候选充电站集合，（3）使用算法3或算法4将充电站分配至合适的位置，并将充电巡回分配给各个充电站。该方法在移动充电器配备大容量电池的情况下效果良好，但在移动充电器配备小容量电池时会导致质量较差。这是因为当使用小容量电池的移动充电器时，由算法1得到的充电巡回的充电周期短于传感器寿命，因为每条路径都必须满足移动充电器的电池约束。因此，在每个较短的充电周期内，每个传感器只能消耗其能量容量的一部分，大量能量未被利用。这表明移动充电器仅能向传感器传输少量能量，而行驶能耗保持不变，从而导致能量效率低下。此外，上述方法无法产生所需的最小数量的移动充电器和充电站，因为它采用算法1进行充电路径规划，而不适合处理具有小容量电池的移动充电器实际上可以执行多次充电路径的情况。在本节中，我们通过提出算法5来替代算法1，以调整上一节中的方法，适应使用小容量电池移动充电器的情形。
为了确保每个移动充电器能够尽可能多地执行充电巡回，算法5基于传感器寿命约束迭代地寻找一个较大的充电巡回，然后将该大巡回划分为多个子巡回，使得每个子巡回满足移动充电器电池约束，同时所有子巡回的充电周期之和不超过传感器寿命约束。来自同一充电巡回的子巡回将由一个移动充电器负责服务。
令 US为尚未被充电巡回覆盖的传感器集合。在集合 US上采用与算法1相同的策略进行充电路径规划。当构造出一个大型路径 P′后，算法5将 P′划分为多个以中心节点sc为根节点的子环路，其中 sc是到 P′中所有其他传感器距离之和最小的位置，其计算方式为
$$
sc \leftarrow \arg \min_{s_i \in P’} \sum_{s_j \in P’, i \neq j} dist(s_i, s_j). \quad (23)
$$
sc将成为子环路返回其充电站的初始返回点，每个子环路在分配到充电站路径后将相应地优化其返回点。假设一个移动充电器最多可服务 q个子环路（可根据参数估计），则可能存在 q个子环路无法包含 P′中的所有传感器的情况。未被包含在 q个子环路中的传感器将被移回 US，以便用于形成其他路径。上述过程重复执行，直到所有传感器都被包含在一个子环路中。算法5提高了移动充电器恰好拥有 q个子环路的可能性。
算法 5 Tour规划算法基于 on 划分
输入：传感器集合S S, Emax, Emin,pw, B,pr,pc,pt, t0, ν.
输出：获得的根节点子巡回集合 k ← 0 US ←未覆盖传感器集合；
当 US≠ φ时
基于传感器寿命构建一个大型路径 P′，在集合上 基于算法1；
s_c ← arg mins_i ∈ P’ ∑
s_j ∈ P’,i≠j
dist(si, sj) ； 将 P′划分为以 sc为根节点的子巡回 算法6 P′的未覆盖传感器将被放回 US中；
将 P′划分为以 s_c 为根节点的多个子环路的过程描述如下。首先，构造一个图 G′=(V, E)，其中 V是 P′上所有传感器的集合S， E是边集合E，使得当 dist(u, v) < TH时，E中存在一条边(u, v)，其中 u, v ∈ V, u≠ v。 TH被设定为使G′成为连通图的最小长度，且 TH可在线性时间内获得。使用辅助图 G′可防止网络在划分时被分割成碎片构建子环路，这将显著减少行驶距离。注意，在此划分步骤中，我们仅考虑路径 P′ 中的传感器。
算法6
，用于基于一条长路径P′创建子巡回Pi，其工作方式如下。设 Pi是 P′的一个子巡回，则其所需能量计算为
$$
E_i = pt \cdot \frac{Len(P_i)}{\nu} + pc \cdot \frac{Emax - Emin}{pr} \cdot |S_i|, \quad (24)
$$
其中 $\frac{Emax-Emin}{pr}$略大于路径 P′中每个传感器所需的充电时间。这可以在调整所有子环路具有统一充电周期的同时，避免产生无效路径。假设已在 P′上构建了子环路 P1, P2, . . . , Pk−1，现在尝试构造第 k个子环路 Pk。我们用 Sk表示除 sc外 Pk中的传感器集合。NS用于表示在创建 P′之前，传感器集合 S中所有已覆盖传感器的未覆盖邻接集，即 NS中的每个传感器均未被覆盖，并且至少连接到一个已覆盖节点。类似地，我们将 NSP定义为 P′中已覆盖传感器的未覆盖邻接集，即 NSP中的每个传感器是 P′中的未覆盖传感器，并且至少连接到$(\bigcup_{i=1}^{k-1} P_i) \setminus {sc}$中的一个已覆盖节点。将 NSP初始化为 P′。加入 Pk的第一个节点按以下方式选择：如果 NS ∩ NSP非空，则从NS∩NSP中选择距离sc最远的传感器si；否则，从 NSP中选择距离sc最远的传感器 si。然后将子环路 Pk初始化为< sc, si, sc>，其路径长度为 2 ∗dist(si, sc)。接下来，在确保不违反移动充电器能量约束的前提下，迭代地向子环路Pk中添加节点。通过添加更多传感器将Pk扩展为子环路的策略定义如下：当选择最佳候选节点加入当前路径 Pk时，(1) 如果 A= NS ∩ NSP= φ，则从集合 A中选择距离sc最近的节点；(2) 否则若 NSP= φ，则从集合 NSP中选择距离 sc最近的节点；(3) 否则，从集合 P′中选择距离 sc最近的未覆盖节点。我们省略了用于构建子环路的算法6 的伪代码。
图5展示了使用算法6通过对大路径 P′进行划分来形成子巡回 Pk的示例。图5（a）展示了覆盖区域、覆盖区域的邻居集合 NS，以及基于算法1构建的大路径 P′。由于 NS ∩ NSP={1, 2}（NSP初始化为 P′）和dist（1, sc） > dist（2, sc），因此选择节点1作为首节点加入子路径 Pk，如图5（b）所示。在此阶段， NS ∩ NSP={2}= φ，因此节点2将被加入P_k，如图5（c）所示，其中 NSP ∩ NS变为空且 NSP={3, 4, 5}。在下一次迭代中，NSP中距离集合Sk最近的节点3将被加入路径 P_k，此时 NSP ∩ NS= Φ且NSP={4, 5, 6}。该过程重复执行，直到无法再向 P_k中添加更多节点而不违反移动充电器电池容量约束为止。
VI. 结果与分析
性能指标包括所需充电路线数量n_t 、移动充电器数量n_mc 、充电站n_d 、所有路径的总充电时间与总行驶时间的平均比率 τ_c /τ_t ，以及补给路段占充电巡回的平均比率γ_l 。
$$
\tau_c/\tau_t = \frac{\sum_{P_k \in P} \sum_{i \in P_k} t_i}{\sum_{P_k \in P} \frac{Len(P_k)}{\nu}}, \quad (25)
$$
$$
\gamma_l = \frac{1}{|P|} \cdot \sum_{P_k \in P, (a,d_k), (b,d_k) \in P_k} \frac{dist(a, d_k) + dist(b, d_k)}{Len(P_k)}, \quad (26)
$$
其中， P 是所有充电巡回的集合， Len(P_k) 是路径 P_k 的长度，ν 是 MC 的行驶速度，(a, d_k), (b, dk) 是充电站 d_k 在路径 P_k 中相邻的两条边， dist(a, d_k) 是从 a 到 d_k 的距离。
A. 基线方法
据我们所知，文献[20],中报道的称为Alg‐14的算法与我们的方法最为相似，因此我们将其作为基准算法之一来评估我们的方法。该论文研究了在仅有一个移动充电仓库 （位于无线传感器网络中心）可用的情况下最小化移动充电器数量的问题。为了与Alg‐14进行公平比较，在收集我们所提出的算法的结果时，我们同时考虑了单站场景和多站场景。
我们还开发了一种近似算法作为充电路径规划的基线，能够保证5的性能比。该近似算法记为5‐近似，其工作方式如下：（1）对于给定的k，该算法首先构造一个由 k个连通分量组成的森林 F，即 C1, C2,…, Ck。（2）对于每个 i（1 ≤ i ≤ k），它构造一个TSP解为Pi ← TSP(Ci) [49]，并删除一条边，使 Pi成为一个路径。（3）对于每个 i，它迭代地从 Pi中划分出一个子路径，只要 Pi的总权重大于 L/2，其中 L是每条路径上的上界（即充电周期或能量消耗）。（4）将每个子路径的首节点和末节点连接起来形成一个闭合路径。该算法尝试 k的所有可能情况，并选择最优的一个。详细的描述和性能比证明见附录。
针对充电站部署与充电路径分配，我们开发了两种改进算法用于比较。在充电站无容量限制的情况下，该算法随机选择一条未被覆盖的充电路线 Pi，并确定最佳候选充电站 dj （即能够覆盖更多未覆盖充电路线的充电站）来覆盖该路径 Pi。所有能被 dj 覆盖的路径将被更新为已覆盖状态。此过程重复执行，直到所有充电路线均被覆盖。在充电站有容量限制的情况下，操作类似，但每个充电站仅能服务一定数量的充电路线。这两种基准算法分别记为 base_uncap 和 base_cap。
B. 仿真环境
在仿真中，我们考虑一个通用的传感器网络，其中 n个传感器随机分布在 l × l 的方形区域上。为了与现有工作进行比较，我们在前三个实验组中将感兴趣区域限制为 2000 × 2000，以便 Alg‐14 能够获得可行解。除非另有说明，我们采用 [16] 和 [20] 中的以下参数设置： ν= 5 m/s， pt= 55w，pc= 50w， pr= 20 w， t0= 3600 s。考虑到网络拓扑的随机性，每种情况的结果均基于 20 次随机仿真实例取平均值。对于前三组比较，我们仅收集基于 [20] 假设下的无容量限制充电站的结果。对于其余两组比较，我们分别展示无容量限制和有容量限制充电站的结果，其中在实验中设定每个有容量限制的充电站可服务的移动充电器数量为 10。
C. 移动充电器电池容量匹配传感器寿命
图6展示了基线算法Alg‐14、5‐近似以及我们提出的新型单站方案（new‐single depot）和新型多站方案（new‐multi depot）在充电站数量n_d、充电路线数量 n_t、τ_c /τ_t（反映能量效率）以及补给路段占完整充电路径的比例 γ_l 方面的性能比较。通常情况下，随着传感器数量的增加，所需的充电路线数量以及充电站数量（针对多充电站情况）也随之增加，这是容易理解的。对于本文提出的方法，我们分别收集了仅部署单个充电站和部署多个充电站两种情况下的实验结果。
平均路径数nt nt。(b) 平均充电站数 nd。(c) 平均 τc/τt。(d) 平均 γl。)
通过改变参数 B0。所使用的充电站数量如图6(b)所示。从图6(a)可以看出，即使仅使用单个充电站，所提出的算法所需的充电路线（和移动充电器）也少得多。当部署更多充电站时，改进更为显著，因为移动充电器可以以更短的距离到达充电站，从而有更多的能量可用于为传感器充电。新型单站方案相对于Alg‐14和5‐近似的平均改进分别为49 %和50.7%，而新型多站方案相对于Alg‐14和5‐近似的平均改进分别为53.6%和55.3%。
可以观察到，即使只部署一个充电站，我们的算法也能实现高得多的 τc/τt，如图6(c)所示。这是因为使用我们算法得到的每条充电巡回在几乎相同的行驶距离下包含了更多的传感器。如果提供更多的充电站，能量效率可显著提高，如图6(c)所示。平均而言，在所考虑的情况下，新型单站方案和新型多站方案的 τc/τt增益分别高达 Alg‐14的8.4倍和11.6倍。这是因为在拥有更多可用充电站的情况下，移动充电器可以在较短距离内返回其充电站进行能量补给，即补给路段占整个路径的比例 γl更小，如图6(d)所示。
D. 使用具有大电池容量的移动充电器
图7展示了Alg‐14、5‐近似以及所提出的新型单站方案和新型多站方案的性能比较。与图6所示情况类似，传感器数量较多会导致更多的充电路线以及更多的充电站（针对多仓库情况）。所提出的算法在获取 n_t 方面显著优于 Alg‐14和5‐近似。新型单站方案和新型多站方案的平均改进
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