36、有效量子描述与量子图灵机详解

有效量子描述与量子图灵机详解

1. 量子计算基础概念

在量子计算领域，量子比特串是一个核心概念。它指的是对应于局部子代数 (A(n) = (M_2(\mathbb{C}))^{\otimes n}) 上的一般混合和纠缠态的任何局部密度矩阵。量子图灵机（QTM）的输入通常是通用的量子比特串，也可宽泛地称为量子程序，其中经典程序或比特串作为其子类，QTM 作为经典图灵机的扩展，也必须能够处理。

经典图灵机本质上是其配置之间的特定转移函数，而 QTM 由其配置之间的转移振幅定义，这些配置构成一个希尔伯特空间。任何 QTM 都对应一个特定的量子计算，即作用于其配置希尔伯特空间的特定酉算子。最终，QTM 进行的量子计算的输出是通过测量过程读出的量子比特串。

2. 量子比特串的有效描述

量子源具有准局部结构，由局部 (n) 量子比特子代数 (A(k) = M_2(\mathbb{C})^{\otimes k}) 生成。我们用 (H_k := (\mathbb{C}^2)^{\otimes k}) 表示 (k) 个量子比特的希尔伯特空间（(k \in \mathbb{N} 0)），并在每个单量子比特希尔伯特空间 (\mathbb{C}^2) 中固定一个计算基 (\vert 0 \rangle)，(\vert 1 \rangle)。为了尽可能通用，允许不同长度 (k) 的量子比特态的叠加，它们对应于类似福克（Fock）的希尔伯特空间 (H_F := \bigoplus {k = 0}^{\infty} H_k) 中的向量。更一般地，量子比特串由作用于 (H_F) 的密度矩阵 (\rho \in B_1^+(H_F)) 表示。

例如