量子力学问题解析与数学推导

84、写出方程 fBorn (ϑ, ϕ) = −1 / 4π k′ v |k⟩ 右侧在位置表象下的显式形式。其中，在位置表象下，可插入完备性条件 1 = ∫d³r |r⟩⟨r|，⟨r |k⟩ = e^(ik·r)，⟨k| r⟩ = ⟨r |k⟩† = ⟨r |k⟩∗ = e^(−ik·r)，势算符 v 是定域的，v (r) = 2m / ℏ² V (r)，q := k − k′。

在右侧两次插入 1（即 ∫d³r |r⟩⟨r|），可得

$$
f_{\text{Born}} (\vartheta, \phi) = -\frac{1}{4\pi} \int d^3r’ \int d^3r’’ \langle k’ | r’ \rangle \langle r’ | v | r’’ \rangle \langle r’’ | k \rangle
$$

由于
⟨r |k⟩ = e^(ik·r)；⟨k| r⟩ = ⟨r |k⟩† = ⟨r |k⟩∗ = e^(−ik·r) 且势算符 v 是定域的，所以

$$
f_{\text{Born}} (\vartheta, \phi) = -\frac{1}{4\pi} \int d^3r’ \, e^{-i k’ \cdot r’} v(r’) e^{i k \cdot r’}
$$

再根据
v(r) = 2m / ℏ² V(r) 和 q := k − k′，最终得到

$$
f_{\text{Born}} (\vartheta, \phi) = -\frac{m}{2\pi \hbar^2} \int d^3r’ \, V(r’) e^{i q \cdot r’}
$$

85、泡利矩阵如何作用于量子比特态 |ϕ⟩ = c |0⟩ + d |1⟩？

给定的文本内容调整为 Markdown 格式如下：

\sigma_x |\phi\rangle = d |0\rangle + c |1\rangle；\sigm