量子力学与数学推导精选

30、考虑约化密度矩阵$\rho_{S,red} = CC^\dagger$，其中$C$是一个$M\times N$矩阵：$C = (c_{mn}) = \begin{pmatrix}c_{11} & c_{12} &… & c_{1N} \ c_{21} & c_{22} &… & c_{2N} \… &… &… &… \ c_{M1} & c_{M2} &… & c_{MN}\end{pmatrix}$。因此，系统有$M$个态，环境有$N$个态。估计$\rho_{S,red}$元素的数量级。

整体上，矩阵元素数量级的估计为 $\rho_{S,red}$ 的 $i,j$ 元素
$$
\rho_{S,red}^{ij} = O\left(\frac{1}{M}\right)\left(\delta_{ij} + O\left(\frac{1}{\sqrt{N}}\right)\right)。
$$
更详细的分析见练习部分。

31、证明当 r 趋于无穷时，eik|r−r′| / |r - r′| 趋近于 (eikr / r) e−ik′·r′。

当 $ r \to \infty $ 时，对 $ |\mathbf{r} - \mathbf{r}’| $ 进行泰勒展开，

$$
|\mathbf{r} - \mathbf{r}’| = r\left(1 - \frac{\hat{\mathbf{r}} \cdot \mathbf{r}’}{r} + O\left(\frac{1}{r^2}\right)\right).
$$

则

$$
\frac{e^{ik|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|}}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|} \to \frac{e^{ik\left(1 - \frac{\hat{\mathbf{r}} \cdot \mathbf{r}’}{r} + O\left(\frac{1}{r^2}\right)\right)}}{r\left(1 - \frac{\hat{\mathbf{r}} \cdot \mathbf{r}’}{r} + O\left(\frac{1}{r^2}\right)\right)}.
$$

根据指数运算法则，

$$
e^{ik\left(r - \hat{\mathbf{r}} \cdot \mathbf{r}’ + O\left(\frac{1}{r}\right)\right)} = e^{ikr} e^{-ik \frac{\hat{\mathbf{r}} \cdot \mathbf{r}’}{r}} e^{ikO\left(\frac{1}{r}\right)},
$$

所以原式等于

$$
\frac{e^{ikr} e^{-ik \hat{\mathbf{r}} \cdot \mathbf{r}’ / r} e^{ikO\left(1/r\right)}}{r\left(1 + O\left(1/r\right)\right)}.
$$

当 $ r \to \infty $ 时，$ e^{ikO(1/r)} \to 1 $，且 $ \frac{1}{1 + O(1/r)} \to 1 $，因此表达式趋近于

$$
\left(\frac{e^{ikr}}{r}\right) e^{-ik \hat{\mathbf{r}} \cdot \mathbf{r}’} = \left(\frac{e^{ikr}}{r}\right) e^{-i\mathbf{k}’ \cdot \mathbf{r}’},
$$

其中 $ \mathbf{k}’ = k\hat{\mathbf{r}} $。

32、将方程 |ψ⟩ = |ψ0⟩ + Gv |ψ⟩ 转换到位置表象。

对等式两边左乘 $\langle r|$，得到
$$
\langle r |\psi\rangle = \langle r |\psi_0\rangle + \langle r| G v |\psi\rangle
$$

由于势算符 $v$ 是定域的，即
$$
\langle r’ | v | r’’ \rangle = v(r’) \delta(r’ - r’‘)
$$
且
$$
\langle r | \psi \rangle = \psi(r), \quad \langle r| G | r’ \rangle = -\frac{1}{4\pi} \frac{e^{ik|r - r’|}}{|r - r’|}
$$

最终可得
$$
\psi(r) = \psi_0(r) - \frac{1}{4\pi} \int d^3r’ \, \frac{e^{ik|r - r’|}}{|r - r’|} v(r’) \psi(r’)
$$

33、找出268898680104636581和170699960169639253的质因数分解。

268898680104636581 = 998653·998681·269617；

170699960169639253 = 413158511 · 413158523

34、泡利矩阵如何作用于量子比特态 |0⟩ 和 |1⟩？

以下是对给定文本内容调整为 Markdown 格式后的输出：

---

Pauli 算符作用如下：

• $ \sigma_x |0\rangle = |1\rangle $
• $ \sigma_x |1\rangle = |0\rangle $
• $ \sigma_y |0\rangle = i |1\rangle $
• $ \sigma_y |1\rangle = -i |0\rangle $
• $ \sigma_z |0\rangle = |0\rangle $
• $ \sigma_z |1\rangle = -|1\rangle $

35、泡利矩阵如何作用于量子比特态 |ϕ⟩ = c |0⟩ + d |1⟩？

$$
\sigma_x |\phi\rangle = d |0\rangle + c |1\rangle；\quad
\sigma_y |\phi\rangle = -i d |0\rangle + i c |1\rangle；\quad
\sigma_z |\phi\rangle = c |0\rangle - d |1\rangle。
$$

36、已知归一化态 |x⟩ 和 |y⟩，且 ⟨x |y⟩ = 0；证明算符 U = 2 |x⟩⟨x| - 1 表示关于 |x⟩ 的反射，而 -U 表示关于 |y⟩ 的反射。

我们可以将任意态表示为
$$
|z\rangle = a |x\rangle + b |y\rangle
$$

则有：
$$
U |z\rangle = 2 |x\rangle\langle x | z\rangle - |z\rangle = 2a |x\rangle - a |x\rangle - b |y\rangle = a |x\rangle - b |y\rangle
$$

$$
-U |z\rangle = -a |x\rangle + b |y\rangle
$$

因此，算符 $ U $ 使 $ |x\rangle $ 的系数不变，改变了 $ |y\rangle $ 的系数；相应地，它是关于 $ |x\rangle $ 的反射。类似地，可以推断出 $ -U $ 表示关于 $ |y\rangle $ 的反射。

37、在对 U 进行 k 次迭代的情况下，测量概率会如何变化？

经过 k 次迭代，有
$$
|c_n|^2 \to |\alpha|^{2k} |c_n|^2；
$$
$$
|c_m|^2 \to 1 - |\alpha|^{2k} + |\alpha|^{2k} |c_m|^2。
$$

38、一个系统处于极化态 |r⟩。使用 wP = tr (ρP) 计算该系统被测量为处于态 |h⟩ 的概率。其中 tr 表